Akademik

класс гомотопически эквивалентных топологич. пространств. Отображения и наз. взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями, если и Если выполнено только первое из этих соотношений, то gназ. гомотопически мономорфным отображением, а f - гомотопически эпиморфным отображением. Отображение тогда и только тогда является гомотопич. эквивалентностью, когда оно гомо-топпчески мономорфно и эпиморфно. Если существует гомотопически эпиморфное отображение то говорят, что пространство Yдоминирует над пространством X. Если существует гомотопич. эквивалентность , то пространства X и Y иаз. гомотопически эквивалентными, или пространствами одного гомотопического типа.

Проблема гомотопического типа состоит в нахождении необходимых и достаточных условий гомотопич. эквивалентности любых пространств. Оказывается удобным эту постановку несколько ослабить. Отображение наз. слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп всех размерностей. Соответственно, пространства Xи Y наз. слабо гомотопически эквивалентными, если существует либо слабая гомотопич. эквивалентность либо слабая гомотопич. эквивалентность . Поскольку любая гомотопич. эквивалентность является слабой гомотопич. эквивалентностью, то гомотопически эквивалентные пространства слабо гомотопически эквивалентны.

Обратное верно, если пространства являются клеточными разбиениями (теорема Уайтхеда). Эта теорема основана на том, что: 1) отображение тогда и только тогда является гомотопич. эквивалентностью, когда Xесть деформационный ретракт цилиндра отображения f; 2) отображение тогда и только тогда является слабой гомотопич. эквивалентностью, когда подпространство Xцилиндра М _f гомотопически репрезентативно (см. Репрезентативное подпространство);3) подразбиение клеточного разбиения тогда и только тогда репрезентативно, когда оно является деформационным ретрактом.

Таким образом, проблема Г. т. на категории клеточных разбиений равносильна проблеме слабого Г. т. С другой стороны, любое пространство Xслабо гомотопически эквивалентно геометрич. реализации его сингулярного симплициального множества . Поэтому в проблеме слабого Г. т. без ограничения общности можно рассматривать лишь клеточные разбиения.

Отображения наз. n-гомотопными, если для любого клеточного разбиения Кразмерности и любого отображения отображения и гомотопны. Если X - клеточное разбиение, это имеет место тогда и только тогда, когда Пространства, эквивалентные по отношению n-гомотопности, наз. пространствами одного n-гомотопического типа. Клеточные разбиения Ки Lназ. разбиениями одного п- типа (обозначение ), если их n-е остовы и имеют один и тот же - гомотопический тип. Если при любом .

Это остается справедливым и при , если под -типом понимать Г. т. Другими словами, понятие n-типа гомотопически инвариантно. Важность понятия n-типа для проблемы Г. т. определяется тем, что два n-мерных клеточных разбиения тогда и только тогда гомотопически эквивалентны, когда они имеют один и тот же (n+1)-тип.

Пусть X - произвольное пространство (для простоты - линейно связное). Симплициальное подмножество М(X).симплициального множества S(X).наз. минимальны м, если оно содержит все сингулярные симплексы, являющиеся отображениями в нек-рую фиксированную точку , и если для любого симплекса , все грани к-рого принадлежат подмножеству М(Х), в М(X).существует единственный симплекс, гомотопный s(относительно границы стандартного симплекса). Минимальные подмножества существуют и, с точностью до изоморфизма, однозначно определяются пространством X. При этом два пространства тогда и только тогда слабо гомотопически эквивалентны, когда их минимальные симплициальные множества изоморфны. Таким образом, для решения проблемы слабого Г. т. остается лишь найти достаточно удовлетворительное описание симплициальных множеств М(Х).

Пусть есть -мерный стандартный симплекс, рассматриваемый как симплициальное разбиение (относительно его, стандартной триангуляции) и пусть - группа его n-мерных коцепей над абслевой группой (точнее, группа нормализованных n-мерных коцепей симплициального множества ). Пусть - симплициальное множество, в к-ром симплексами размерности qявляются коцепи из , а операторы грани и вырождения являются коцепными отображениями, индуцированными стандартными симплициальными отображениями и (отображение "выпускает" i-ю вершину, а отображение "склеивает" г-ю и -ю вершины). Симплексы, являющиеся коциклами, образуют в некоторое симплициальное подмножество . Кограничный оператор . определяет симплициальное отображение ядром к-рого служит подмножество . Отображение является расслоением (в смысле Кана) со слоем . Кроме того, симплициальное множество является в категории симплициальных множеств объектом типа (по отношению к гомотопич. группам в смысле Кана, см. дйленберга - Маклейна пространство), а симплициальное множество гомотопически тривиально (гомотопически эквивалентно "точке"). Таким образом, расслоение является симплициальным аналогом Серра расслоения путей над пространством типа .

Симплициальное множество при имеет смысл и для любой (не обязательно абелевой) группы . Получающееся симплициальное множество есть не что иное, как стандартная симплициальная резольвента группы .

Пусть - мультипликативная группа операторов аддитивной группы . Для любого коцикла апроизвольного симплициального множества над группой в группе коцепей этого множества над группой определен кограничный оператор относительно коцикла а. Пусть - произвольный g-мерный симплекс из Nи пусть - его характеристическое отображение (см. Симплициалъное множество). Тогда в определен коцикл . Пусть кограничный оператор относительно этого коцикла обозначен символом . Пусть - произвольный (n+1)-мерный коцикл симплициального множества Nнад группой p относительно коцикла а. Если в прямом произведении симплициальных множеств рассмотреть подмножество , состоящее из всевозможных пар для к-рых то Рбудет симплициальным подмножеством. Формула определяет надъективное (сюръективное) отображение являющееся расслоением (в смысле Кана). Это расслоение будет обозначаться В случае, когда коцикл а тривиален, это есть не что иное как расслоение, индуцированное симплициальным отображением отвечающим коциклу , из расслоения

Над n-мерным остовом симплициального множества расслоение робладает сечением, и коцикл является препятствием к распространению этого сечения на . После отождествления симплексов и можно считать, что . При этом .

Пусть теперь имеется последовательность расслоений симплициальных множеств

начальный член к-рой является симплициальным множеством , построенным для мультипликативной группы . По определению, одномерные симплексы из находятся в естественном биективном соответствии с элементами группы . Сопоставление каждому такому симплексу соответствующего элемента группы приводит в к нек-рому одномерному коциклу над группой . Пусть коцикл определяется в Р _п индуктивной формулой Последовательность (1) наз. гомотопической резольвентой, или Постникова системой (первоначальное название - натуральная система), если для любого симплициальное множество есть множество вида - коцикл размерности в над нек-рой -группой относительно коцикла а _п[и расслоение р _n есть расслоение ]. Эта последовательность наз. резольвентой симплициального множeства М, если для любого задано симплициальное отображение являющееся изоморфизмом

на и такое, что Резольвента определяет спмплпциальное множество Моднозначно с точностью до изоморфизма. С другой стороны, сама резольвента однозначно определяется группами и коциклами Поэтому резольвентой можно называть также и объект состоящий из групп и коциклов Не всякое симплициальное множество Мобладает резольвентой. Основная теорема теории гомотопич. резольвент утверждает, что симплициальное множество Мтогда и только тогда обладает резольвентой, когда оно изоморфно минимальному симплициальному множеству М (X).нек-рого топологич. пространства X. При этом .

Резольвента минимального множества строится следующим образом. Пусть а - произвольный q-мерный симплекс из . Этот симплекс представляет собой отображение , переводящее все вершины симплекса в точку . Поэтому на любой одномерной грани (ребре) симплекса оно определяет нек-рый элемент группы . Таким образом на возникает нек-рый одномерный коцикл над группой , т. е. q-мерный симплекс из ; он будет обозначаться . Тем самым получено нек-рое (симплициальное) отображение . Это отображение является изоморфизмом на и эпиморфизмом на . Далее проводится индукция: пусть для нек-рого уже построено симплицнальное множество и симплпцнальное отображение являющееся изоморфизмом на и эпиморфизмом на . Для отображения существует обратное справа отображение Пусть - препятствие к распространению этого отображения на Препятствие является -мерным коциклом в над группой относительно коцикла Для любого -мерного симплекса t из Мсимплекс сравним с t, и потому определен различающий элемент (см. Различающая). Пусть - произвольный q-мерный симплекс из М. На каждой -мерной грани симплекса он определяет некоторый -мерный симплекс . Сопоставление этой грани элемента приводит к некоторой -мерной коцепи в над , то есть к некоторому g-мерному симплексу симплициаль-ного множества Пара принадлежит симплициальному множеству Для завершения индукции остается заметить, что построенное отображение симплициально, является изоморфизмом на и эпиморфизмом на

Резольвента строится по симплициальному множеству неоднозначно: имеется произвол в выборе обратных отображений . Проще всего описать эту неоднозначность, понимая резольвенты в смысле (1). Именно, две такие резольвенты и тогда и только тогда возникают из одного минимального симплициального множества , когда они изоморфны как последовательности отображений, т. е. когда для любого существует такой изоморфизм что Чтобы описать этот изоморфизм в терминах резольвент и , следует заметить, что существование изоморфизма равносильно существованию изоморфизма групп При этом Далее, для изоморфизма тогда и только тогда существует следующий изоморфизм когда существует такой -изоморфизм (см. Операторный гомоморфизм). и такая коцепь что

При этом изоморфизм определяется формулой

Резольвенты и тогда и только тогда возникают из одного минимального симплициального множества, когда существуют такие изоморфизмы являющиеся при -изоморфизмами, что для любого выполнены соотношения (2), где - изоморфизм, последовательно определяемый при формулой (2'), а при п=1являющийся изоморфизмом, индуцированным изоморфизмом . В этом случае резольвенты и наз. изоморфными. Гомотопической резольвентой пространства Xназ. резольвента симплпциального множества М(Х). Резюмируя, получаем, что два пространства тогда и только тогда слабо гомотопически эквивалентны, когда их гомотопич. резольвенты изоморфны; в частности, два клеточных разбиения тогда и только тогда гомотопически эквивалентны, когда их гомотопические резольвенты изоморфны.

Если условия (2) выполнены только при , то изоморфизмы существуют только при . В этом случае говорят, что данные резольвенты m-изоморфны. Два клеточных разбиения тогда и только тогда имеют один и тот же re-тип, когда их гомотопич. резольвенты ( п-1)-изоморфны.

Изложенное решение проблемы Г. т. (и n-типа) позволяет доказывать целый ряд общих теорем и существенно проясняет принципиальную сторону дела (но явное вычисление резольвент возможно лишь в немногих случаях). Из него вытекает, что для любого односвязного пространства с конечными группами гомологии гомотопич. группы могут быть эффективно вычислены. Аналогичное утверждение справедливо и для пространств, группы гомологии к-рых лишь конечно порождены (см. [2]). Тот факт, что Г. т. полностью определяется резольвентой, показывает, что любая задача теории гомотопий сводится к нек-рому утверждению о резольвентах соответствующих пространств. Это позволяет классифицировать задачи по числу коциклов , участвующих в их решении. Если рассматриваемое пространство связно, то его резольвента начинается фактически с члена . Если решение данной задачи может быть сформулировано лишь с использованием первой нетривиальной группы p_n , то эта задача наз. задачей нулевой ступени [напр., задача Хойфа - Уитни о классификации отображений n-мерного полиэдра в -связное пространство]. Если для этого требуются группы и коцикл , то задача наз. задачей первой ступени [напр., задача о классификации отображений -мерного полиэдра в -связное пространство]. Аналогично определяются задачи второй, третьей и т. д. ступеней. Известны эффективные решения любых задач нулевой и первой ступеней. Это связано с тем, что для любого -связного пространства можно вполне эффективно вычислить класс когомологий коцикла ; именно, он имеет вид , где - фундаментальный класс пространства а - при - Стинрода операция, соответствующая естественному спариванию а при - некоторый ее вариант, известный как Понтрягина квадрат. Для задач высших ступеней необходимо аналогичное эффективное вычисление следующих коциклов ,

фундаментального класса с применением нек-рой когомологической операции соответствующего порядка. Это, в частности, показывает, что решение любой задачи теории гомотопий может быть сформулировано в терминах определенных когомологич. операций. Однако ввиду большой сложности операций высших порядков получены лишь решения отдельных задач высших ступеней, использующие соображения специального характера. Нек-рый общий прогресс достигнут в предположении стационарности: продвинутое в этих предположениях уже довольно далеко вычисление дифференциалов спектральной последовательности Адамса равносильно вычислению нек-рых стационарных операций высоких порядков.

Теория гомотопич. резольвент может быть переформулирована в следующей, "геометризованной" форме. Резольвентой наз. произвольная последовательность расслоений в смысле Серра

в к-рой каждое пространство обладает тем свойством, что при . Эта последовательность наз. резольвентой пространства X, если для любого заданы отображения индуцирующие изоморфизм гомотопич. групп до размерности пи такие, что Эта резольвента с точностью до изоморфизма [понимаемого как изоморфизм последовательностей (см. Последовательностей категория)]определяется однозначно группами и характеристич. классами расслоений . Резольвента существует для любого линейно связного пространства X[таковой будет, напр., геометрическая реализация "алгебраической" резольвенты (1)] и определяет это пространство с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности. Слоем расслоения является пространство типа , и в случае, когда Xгомотопически re-просто (см. Гомотопическая группа), напр., односвязно, это расслоение индуцировано из Серра расслоения путей над пространством посредством нек-рого отображения представляющего (см. Эйленберга - Маклейна пространство, Представимый функтор). класс когомологий .

Если пространство -связно, то его резольвента фактически начинается с члена При удобно наряду с "абсолютными" резольвентами (3) рассматривать также так наз. резольвенты по модулю простого числа р, определение к-рых отличается от определения резольвент (3) только тем, что гомотопич. группы заменяются их р-компонентами. Если для Xнайдены резольвенты по любому простому модулю р, нахождение "абсолютной" резольвенты, как правило, не представляет труда. Поэтому в задаче вычисления резольвент (включающей задачу вычисления гомотопич. групп) обычно ограничиваются "модульными" резольвентами, в вычислении к-рых могут быть использованы мощные методы теории спектральных последовательностей и теории когомологич. операций. Для нек-рых пространств-вычисление резольвент далеко продвинуто.

Например, для сферы (при пдостаточно большом, чтобы выполнялись условия стационарности) известно уже довольно много первых членов ее резольвенты по модулю 2. Достаточно описать соответствующие группы [то есть 2-компоненты групп ] и классы когомологий . Первые группы имеют следующий вид

Класс имеет вид где - фундаментальный класс. Следующий класс обладает тем свойством, что на слое расслоения он высекает класс и однозначно этим свойством характеризуется. Аналогично, класс однозначно характеризуется тем, что после приведения по модулю 2 он переходит в класс Классы и равны нулю, а класс однозначно характеризуется тем, что на слое расслоения он высекает класс . Наконец, класс характеризуется тем, что после приведения по модулю 2 он переходит в класс .

Лит.:[1]Постников М. М., Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1, Алгебраическая теория систем, ч. 2, Натуральная система и гомотопический тип, М., 1955; [2] Браун Э. X., "Математика", 1958, 2:2, с. 3-24; [3] Мошер Р., Тангора М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970, гл. 13, М. М. Постников.