Akademik

включение данной задачи в однопараметрическое (01) семейство задач, связывающее данную задачу (а=1) с известной разрешимой задачей (a=0), и изучение зависимости решений от параметра a. Метод широко используется в теории дифференциальных уравнений.

Пусть, напр., требуется доказать разрешимость в классе Гёльдера задачи Дирихле

(1)

в ограниченной N-мерной области для линейного эллиптич. оператора 2-го порядка

Вводится семейство эллиптич. операторов

и рассматривается для него задача Дирихле

(2)

Пусть - множество тех , для к-рых задача (2) однозначно разрешима в классе при любых f и . Множество не пусто, поскольку при a=0 (т. е. для оператора Лапласа) задача (2) однозначно разрешима в классе , как это следует из теории потенциала. Множество одновременно открыто и замкнуто на [0, 1] и; следовательно, совпадает с [0, 1]. Таким образом, a=1 принадлежит и задача (1) разрешима.

П. по п. м. (в варианте аналитич. родолжения по параметру) был предложен и развит в ряде работ С. Н. Бернштейна (см. [1], [2]). В дальнейшем этот метод нашел широкое применение в различных вопросах теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, причем идея аналитич. родолжения по параметру была дополнена более общими функциональными и топологич. принципами (см. [3]).

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., "Math. Ann.", 1904, Bd 59, S. 20-76; [2] его же, Собр. соч., т. 3, М., 1960; [3] Лерэ Ж., Шаудер Ю., "Успехи матеит. наук", 1946, в. 3/4, с. 71-95. И. А. Шишмарев.