Akademik

- 1) П.- предпучок F такой, что для всякого объединения открытых подмножеств U_l. топологич. пространства Xвыполнены следующие условия: 1) если ограничения на каждое U_l элементов sи s' из F(U).совпадают, то s'=s";2) если таковы, что для любой пары индексов l, m ограничения s_l и s_m на совпадают, то существует элемент , ограничения к-рого на все U_l. совпадают с s_l. Всякий П. на Xизоморфен П. ростков непрерывных сечений некоторого накрывающего пространства над X, к-рое определяется однозначно с точностью до изоморфизма (под накрывающим пространством понимается непрерывное отображение E на X, являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под П. обычно понимается также и само накрывающее отображение (см. Пучков теория).

Е. Г. Спляренко.

2) П.- однопараметрическое семейство линий на плоскости или поверхностей в пространстве, линейно зависящее от параметра. Пусть F₁ и F₂ - функции двух переменных, непропорциональные друг другу. Семейство линий на плоскости, определяемых уравнением

при всевозможных значениях параметров l₁ и l₂ (кроме l₁=0, l₂=0), представляет собой П. (фактически П. зависит от одного параметра l₁ : l₂). Аналогично записывается уравнение П. поверхностей в пространстве. Два уравнения F₁=0, F₂=0 дают два элемента П. (две линии или две поверхности), к-рые определяют весь П. Каждые два элемента П. пересекаются по одному и тому же множеству точек - носителю. Носитель П. может содержать как действительные, так и мнимые точки. Если исходные кривые П. являютcя алгебраич. кривыми порядков ти п, то носитель состоит из тп точек (действительных или мнимых, собственных или несобственных).

Пучок прямых - множество всех прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через фиксированную точку (собственный П.) или параллельных фиксированной прямой (несобственный П.). Уравнение П. прямых имеет вид

Пучок плоскостей - множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (собственный П.) или параллельных нек-рой фиксированной плоскости (несобственный П.). Уравнение П. плоскостей имеет вид

Пучок окружностей - однопараметрическое семейство окружностей, линейно зависящее от параметра. П. окружностей содержит окружности и одну прямую. Носителем (собственного) П. окружностей являются две круговые точки и две собственные точки а и b. Если , то П. окружностей

можно определить как множество окружностей (считая прямые окружностями бесконечного радиуса), проходящих через точки аи b;если а=b, нужно дополнительно требовать, чтобы окружности касались друг друга в точке а. Если а и bдействительные и различные, П.

окружностей наз. эллиптическим (рис. 1), если совпавшие (действительные) - параболическим (рис. 2), если мнимые (различные) - гиперболическим (рис, 3). Несобственным П. окружностей наз. совокупность концентрических окружностей (рис. 4).

У каждого собственного П. окружностей существует так наз. радикальная ось - прямая, каждая точка к-рой

имеет одинаковую степень точки (различную для различных точек) относительно всех окружностей П. Радикальная ось эллиптического П. проходит через общие точки окружностей; параболического - является их общей касательной; гиперболического - линией центров двух окружностей, ортогональных ко всем окружностям П. Центры окружностей П. лежат на прямой, перпендикулярной радикальной оси. Точка пересечения линии центров П. и его радикальной оси наз. центром П. Степень центра П. относительно любой окружности П. одинакова и наз. степенью П. Если ось абсцисс является линией центров окружностей П., а ось ординат - радикальной осью П., то уравнение произвольной окружности П. имеет вид

где t - параметр, определяющий данную окружность, р - степень П. Для эллиптического П. р<0, для параболического П. р=0, для гиперболического р>0 (степень несобственного П. можно считать бесконечной).

Окружности, ортогональные всем окружностям данного П., сами образуют П.; про этот П. говорят, что он сопряжен с данным. Эллиптический П. сопряжен с гиперболическим, параболический - с параболическим.

Любой П. окружностей является пересечением двух сеялок окружностей.

Пучок сфер - одиопараметрическое семейство сфер, линейно зависящее от параметра. Любые две сферы П. пересекаются но нек-рой окружности действительного, нулевого или мнимого радиуса. В первом случае П. сфер наз. эллиптическим, он состоит из всех сфер, проходящих через данную окружность; во втором - параболическим, П. состоит из всех сфер, касающихся друг друга в общей точке; в третьем - гиперболическим, П. состоит из всех сфер, ортогональных к нек-рым трем данным сферам, пересекающимся в двух точках. У П. сфер имеется так наз. радикальная плоскость, каждая точка к-рой имеет одинаковую степень (различную для разных точек) относительно сфер П.; центры всех сфер П. лежат на одной прямой, перпендикулярной радикальной плоскости.

П. офер является пересечением трех сетей сфер, центры к-рых не лежат на одной прямой.

В проективной геометрии алгебраическим пучком прямых наз. множество всех прямых проективной плоскости, координаты u₁, u₂, u₃ к-рых удовлетворяют уравнению F (u₁, u₂, u₃)=0, где F(u₁, u₂, u₃) - не равный тождественно нулю многочлен, однородный относительно переменных u₁, u₂, u₃;степень многочлена Fназ. степенью (или порядком) П. прямых. Алгебраический П. прямых первого порядка задается уравнением a₁u₁+a_au₂+a₃u₃=0 и представляет собой множество всех прямых, проходящих через точку с координатами (a₁, a₂, а ₃).

Алгебраический П. прямых второго порядка задается уравнением

где f_ij- действительные числа, среди к-рых по крайней мере одно отлично от нуля. Если дискриминант d=|f_ij|, i=1, 2, 3, отличен от нуля, П. прямых второго порядка наз. невырожденным, если d=0 - вырожденным. Каждый невырожденный П. второго порядка является множеством касательных к невырожденной линии второго порядка; каждая невырожденная линия второго порядка является огибающей нек-рого невырожденного П. второго порядка.

Лит.:[1] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. Б. Иванов.