Akademik

те члены ряда Тейлора - Фурье

(1)

у к-рых показатели Ри Qудовлетворяют линейному соотношению вида

(2) Здесь - постоянные коэффициенты, - скалярное произведение Qи Y;постоянные и - обычно собственные значения и базис частот нек-рой системы обыкновенных дифференциальных уравнений; константа сне зависит от Ри Q, она определяется ролью ряда (1) в рассматриваемой задаче.

Если в линейной системе

(3)

все l_j чисто мнимые и в (2) с=0, то сумма Р. ч. ряда (1) совпадает с осреднением этого ряда вдоль решений системы (3). Систему обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности нек-рых инвариантных многообразий можно привести к нормальной форме, в к-рой ряды содержат только Р. ч. (см. [1]). Так, для гамильтоновой системы в окрестности неподвижной точки гамильтониан может быть приведен к виду (1), где п=0, и выполнено (2) с с=0, причем - вектор из собственных значений линеаризованной системы (см. [2]). В этом случае иногда члены с , наз. в е к о в ы м и (для них (2) выполняется тривиально), а резонансными наз. остальные члены ряда (1), для к-рых выполнено (2).

Выделение Р. ч., производимое в задачах с малым параметром, зачастую также может быть обосновано с помощью нормальной формы (см. [1]). Для точечного преобразования с мультипликаторами (m₁,. . ., m_m)=M показатели Р. ч. ряда (1) с n= 0 удовлетворяют соотношению M^p=1, если положить и w₁=1, то получится соотношение (2) с с=0.

Лит.:[1] Б р ю н о А. Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, М., 1979; [2] е г о ж е, "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239. А. Д. Брюно.