Akademik

последовательность дифференциальных модулей, каждый из к-рых является модулем гомологии предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных или триградуированных) модулей, к-рые изображают графически в виде наложенных друг на друга таблиц на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п. объектов произвольной абелевой категории (напр., бимодулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.).
Все известные С. п. получаются из точных пар. Точной парой (D¹,Е ¹,i¹,j¹,k¹) наз. точная диаграмма вида

Гомоморфизм d^l=j¹kⁱ является дифференциалом в Е ¹. По каждой точной паре можно построить производную точную пару (D²,E²,i²,y²,k²), для к-рой D²=Im i¹ и E²=H(E¹, d¹). Итерирование этой конструкции дает С. п. Е={E ^п, dⁿ}.
1) С. п. Лере. Фильтрованный цепной комплекс модулей ({К ^р}, d )определяет точную пару биградуированных модулей D^l_p,_q=H_p+q(K^P), E¹_q,_q=H_p+q(K^P/K^P-1). В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала d^r равна (-r, r-1) и

Модули образуют фильтрацию в H_*(K). Биградуированный модуль

наз. присоединенным к Н _* (К). Фильтрация {К ^р} наз. регулярной, если K^p=0 при р<0, при q<0и Для регулярной фильтрации или р<0 или q<0; такая С. п. наз. С. п. первой четверти. Кроме того, при r>max ( р,q+1). В этом случае говорят, что С. п. сходится к Н _* (К), и пишут
2) С. п. Лере - Серра. Частный случай С. п. Лере возникает из цепного (или коцепного) комплекса фильтрованного топологич. пространства. Напр., фильтрация клеточного разбиения Xего остовами дает вырожденную С. п. для к-рой при и С. п. Лере - Серра получается из фильтрации тотального пространства . расслоения в смысле Серра прообразами р ^-1( В ^п )остовов В ^п базы В. Если слой Fи база Влинейно связны, то для каждой группы коэффициентов G это дает С. п. с дифференциалами d^r бистепени ( - r, r-1), для к-рой

где - система локальных коэффициентов над В, состоящая из групп Н _q(F; G). При этом гомоморфизм совпадает с композицией

а гомоморфизм совпадает с композицией

где r достаточно велико. Дифференциал С. п. совпадает с трансгрессией:
Этой гомологич. С. п. Лере - Серра двойственна когомологич. С. п. Лере - Серра с дифференциалами d_r бистепени (r, -r+1), для к-рой Если Gявляется кольцом, токаждый член Е _r является биградуированным кольцом, дифференциал d_r является дифференцированием кольца Е _r и умножение в Е _r+1 индуцировано умножением в Е _r. Если G - поле и база Водносвязна, то
3) С. п. Атьи - Xирцебруха (- Уайтхеда ) получается применением функтора обобщенных (ко)гомологий к той же фильтрации пространства Е. В ее когомологич. варианте В отличие от С. п. Лере - Серра С. п. Атьи - Хирцебруха для тривиального расслоения вообще говоря, невырождена.
4) С. п. Эйленберга - Мура ассоциирована с каждым квадратом расслоений

В ее когомологич. варианте

Если R - поле и квадрат состоит из H-пространств и H-отображений, то эта С. п.- в категории биградуированных алгебр Хопфа.
5) С. п. Адамса пишется для каждого простого и любых пространств Xи Y(удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее

где А _р - Стинрода алгебра rnod p. Бистепень d_r равна (r, r-1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при r>s существует мономорфизм и, значит, определена группа Существует такая убывающая фильтрация {F^s} группы {Y, X} стабильных гомотопич. классов отображении что а состоит из всех элементов группы {Y, X} конечного порядка, взаимно простого с р. Эта С. п. при Х=Y=S позволяет лв принципе