Akademik

- минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.
Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных

при условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения:

В этой задаче множество G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g=(g₁, ...,g_m), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c=(c₁, ..., с _т )в m-мерном евклидовом пространстве
Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства

то это приводит к задаче нелинейного программирования(1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный многогранник, принадлежащий (n-m₁ )-мерной гиперповерхности, задаваемой т ₁, m₁<n, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m₁ неравенств, входящих в (3).
Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и g_i являются линейными по x_l, ... , х _п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x₁, .....x_n, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий (п-т ₁ )-мерной гиперплоскости, задаваемой m₁ условиями типа равенства в (3).
Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э.
При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.

Лит.:[1] Xедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярский.