Akademik

раздел теории чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз. аддитивными задачами. Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении больших чисел.

К классич. проблемам А. т. ч. относятся: задача о представлении числа суммой четырех квадратов, девяти кубов и т. д. (см. Варинга проблема);задача о представлении числа в виде суммы не более трех простых (см. Гольдбаха проблема);задача о представлении числа в виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди - Литлвуда проблема).и другие аддитивные проблемы. Для решения задач А. т. ч. применяются аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные методы, а также методы, основанные на вероятностных соображениях. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел - аналитич. теорию чисел, алгебраич. теорию чисел, вероятностную теорию чисел.

Первые систематич. результаты в А. т. ч. были получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с помощью степенных рядов разложения целых чисел на положительные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых.

Многие классич. задачи А. т. ч. решаются методом редукции к производящим функциям, к-рый восходит к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. методов, развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом (J. Е. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной является идея сопоставления заданным последовательностям степенных рядов

с производящей функцией

где - количество представлений числа пв виде

При этом вычисляется при помощи интеграла Ко-ши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются тригонометрич. суммами

Из r(п).выделяется главная часть, состоящая из интервалов, распространенных на окрестности нек-рых рациональных точек. Вместо аналитич. свойств требующих в ряде задач А. т. ч. привлечения гипотез, аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при вычислении r(n) играют чисто арифметич. оценки тригонометрич. сумм по методу Виноградова и законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях, получаемые трансцендентными методами теории L- функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости от kлибо для всех либо для достаточно больших п , либо для почти всех пвыполняется соотношение т. е.

или, наконец, для имеется асимптотич. формула. Наименьшее число k, удовлетворяющее одному из перечисленных условий, обозначается соответственно В случае - последовательность простых чисел, при получается теорема Виноградова: всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел; при - теорема Чудакова: почти все четные числа могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел.

Нек-рые задачи А. т. ч. решаются при помощи исследования структуры множеств, получающихся в результате суммирования последовательностей заданных лишь их плотностями где

Из положительности при уже следует, что Применение этого факта к задачам А. т. ч., в к-рых суммируются последовательности нулевой плотности, осуществляется путем конструирования из данных последовательностей новых последовательностей с положительной плотностью. Ведущую роль при этом играют решета методы, с помощью к-рых доказывается положительность Таким способом Л. Г. Шнирельманом доказана теорема о представимости натуральных чисел в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых, Ю. В. Линником найдено элементарное решение проблемы Варинга.

Элементарные методы решета, принадлежащие В. Вруну (см. Вруна решето).и А. Сельбергу (см. Сельберга решето), приводят в ряде задач А. т. ч. к результатам, недоступным пока современным аналитич. средствам. Однако наиболее законченные решения нек-рых задач А. т. ч. получаются путем комбинирования аналитических и элементарных методов. В методах решета принцип высеивания простых чисел из натурального ряда (см. Эратосфена решето).распространяется на совокупности последовательностей. Так, одновременное высеивание с должной точностью из последовательностей и простых чисел, и, соответственно, (где - надлежащим образом выбранные положительные константы), приводит к решению так ваз. квазипроблемы Гольдбаха- Эйлера о представлении четного числа суммой двух чисел, одно из к-рых имеет не более а другое - не более простых множителей.

В 1959 Ю. В. Линником при помощи созданного им дисперсионного метода была решена проблема Харди - Литлвуда, а именно, было доказано (см. [2]), что всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы простого числа и двух квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решен ряд так наз. бинарных проблем, связанных с нахождением числа решений уравнения где пробегают заданные последовательности чисел, достаточно хорошо распределенные в арифметич. прогрессиях. Для метода Линника характерно использование элементарных теоретико-вероятностных понятий, примененных П. Л. Чебышевым в его выводе закона больших чисел. С этой целью данное бинарное уравнение сводится к большому числу вспомогательных уравнений, для к-рых сопоставляются ожидаемые количества решений уравнений. Если подсчет дисперсии показывает, что "в среднем" мало отличаются от S_i(n), то Q(n).е S_i (n) (с допустимой погрешностью). Дисперсионный метод был использован также для исследования общего уравнения Харди - Литлвуда.

Область применения дисперсионного метода пересекается с областью применения метода большого решета, разработанного Ю. В. Линником в 1941. Этот метод позволяет высеивать последовательности при помощи простых чисел с возрастающим числом выбрасываемых вычетов. Фактически метод большого решета является следствием законов распределения слабо зависимых случайных величин.

В А. т. ч. существуют задачи, систематич. изучение к-рых относится к другим разделам теории чисел: проблема представимости целых чисел квадратичными формами и формами высших степеней; исследование дио-фантовых уравнений, допускающих трактовку с позиций общей А. т. ч.

В современной теории чисел интенсивно развиваются различные направления А. т. ч., наблюдается тенденция к перенесению проблем и методов А. т. ч. на произвольные поля алгебраич. чисел.

Лит.:[1] Виноградов И. М., Избранные труды, М., 1952;[2] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [3] Хуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [4] Оstmann H. H., Additive Zahlentheorie, Bd 1-2, В., 1956; [5] Чудаков Н. Г., "Успехи матем. наук", 1938, вып. 4, с. 14-33;. [6] Бредихин Б. М., там же, 1965, т. 20, в. 2 (122), с. 89-130. Б. М. Бредихин.