Akademik

(непрямое доказательство) – доказательство, в к-ром заключение об истинности доказываемого суждения (тезиса доказательства) извлекается непосредственно из опровержения нек-рого др. суждения (или суждений), находящегося в определ. отношении к тезису. Обычно рассматривают разделительные и апагогические К. д.

В разделительном К. д. тезис представляет собой один из членов дизъюнкции суждений, о к-рой известно, что она истинна; доказательство состоит в опровержении всех членов дизъюнкции, кроме одного – тезиса доказательства. [Этот вид К. д. имеет, т.о., форму отрицающе-утверждающего модуса (modus tollendo ponens) разделительно-категорич. умозаключения ]. Если известно, что истинно какое-то из суждений Т1, Т2, ..., Тn (что можно представить разделит. посылкой "Т1 или Т2, или ..., или Тi или..., или Тn") и что все эти суждения, кроме одного из них, напр. Тi, ложны (т.е. имеет место Т1 и Т2, и ..., и Ti-1, и 1 Τi+1, и ..., и Тn", где – знак отрицания), то суждение Τi (тезис доказательства) истинно. Эта форма К. д. применима как в том случае, когда в разделит. посылке подразумевается истинность п о к р а й н е й м е р е одного из n ее членов, так и в том случае, когда имеется в виду истинность т о л ь к о о д н о г о из них.

В а п а г о г и ч е с к о м К. д. (от греч. apagoge – вывод), иначе называемом доказательством от противного, вывод об истинности тезиса извлекается из опровержения противоречащего ему суждения (т.н. антитезиса) посредством выведения из последнего такого заключения, к-рое является ложным суждением [это выведение наз. "приведением к нелепости", "приведением к абсурду" (лат. reductio ad absurdum, deductio ad absurdum) или "приведением к невозможному" (лат. reductio ad impossibile); наиболее распространенным случаем "приведения к абсурду" является выведение логич. противоречия ]. Если антитезис представляет собой отрицание тезиса (т.е. если Τ – тезис, а Τ – антитезис), то переход от ложности антитезиса к истинности тезиса предполагает (наряду с положением о равнозначности ложности суждения истинности его отрицания) применение закона снятия двойного отрицания (апагогическое К. д. 1-го вида); если же тезис есть отрицание антитезиса (т.е. если Т – тезис, а Т – антитезис), то такой переход свободен от применения указанного закона (апагогич. К. д. 2-го вида).

К. д. широко применяются в рассуждениях. Это особенно касается апагогич. К. д., играющих важную роль в дедуктивных науках, в которых апагогич. К. д. часто оказываются более краткими и простыми, чем некосвенные (прямые) доказательства тех же тезисов. В дедуктивных науках применяются апагогич. К. д. обоих видов, хотя они и различаются по своей применимости к разл. вопросам. Последнее находит отражение в разл. отношении к этим двум видам апагогич. К. д. в классич. и неклассич. (в частности, конструктивной, интуиционистской и минимальной) математич. логике, что объясняется различием в подходе к закону снятия двойного отрицания (см. Двойного отрицания законы) и связанному с ним принципу исключенного третьего. Закон снятия двойного отрицания (принимаемый в классич. логике) в общем случае не принимается в неклассич. логич. системах (принятие его в конструктивной и интуиционистской логике было бы равносильно отбрасываемому здесь закону исключенного третьего; в др. неклассич. системе – в минимальной логике – принятие закона снятия двойного отрицания влечет за собой принятие закона исключенного третьего, но не обратно). Поэтому в указанных неклассич. системах не допускаются апагогич. К. д. 1-го вида [кроме, напр., тех из них, в к-рых тезис представляет собой отрицание нек-рого высказывания (т.е. имеет вид В, в силу чего антитезис имеет вид В); это исключение объясняется тем, что в этих системах опровержимость формулы В равносильна опровержимости формулы В, что сводит этот случай апагогич. К. д. 1-го вида к апагогич. К. д. 2-го вида ]. В упомянутых неклассич. системах допустимые там апагогич. К. д. обосновываются теоремой о дедукции и контрапозиции законами (А⊃В ⊃ ( B ⊃ A) и (A ⊃ B) ⊃ (B⊃ A) или законом приведения к абсурду (A⊃B) ⊃ ((A⊃В) ⊃ A) (принятие к-рого, впрочем, влечет за собой принятие обеих указанных форм принципа контрапозиции и равносильно принятию второй из них). В классич. логике в качестве средства обоснования апагогич. К. д. пригодны и нек-рые иные законы – в частности те, к-рые получаются из только что упомянутых путем обмена местами A и A.

Исторически К. д. возникли очень давно. Так, их применяли представители др.-греч. науки и философии (элейцы, софисты и др.). Они были известны Аристотелю. Апагогич. К. д. пользовался Эвклид в своих "Началах", в силу чего они широко известны из школьного курса геометрии.

Термин "К. д." применяется и в юриспруденции (в теории судебных доказательств), однако в отличном от описанного смысле. В юриспруденции К. д. (или косвенными уликами, или просто уликами) называют источники сведений о таких фактах, к-рые сами непосредственно не являются предметом судебного исследования, но связаны с этим предметом и могут поэтому при определ. условиях служить основанием для вывода о существ. чертах преступления.

Лит.: Начала Эвклида, кн. 1–6, пер. с греч., М.–Л., 1948 (см. такжекоммент. с. 262–64 и 346–50); Аристотель, Аналитики первая и вторая, [пер. с греч., М., 1952 ], с. 141–47, 156, 238; Асмус В. Ф., Учение логики о док-ве и опровержении, М., 1954, с. 44–49; Строгович М. С., Материальная истина и судебные док-ва в сов. уголовном праве, М., 1955; Рутковский Л. В., Критика методов индуктивного доказательства, в кн.: Избр. труды рус. логиков XIX в., М., 1956, с.217–21; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 50, 52, 439; Старченко Α. Α., Логика в судебном исследовании, М., 1958, гл. 1, Градштейн И. С., Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики, 3 изд., М., 1959, гл. 1; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959, с. 99–105; Чёрч Α., Введение в матем. логику, [т. ] 1, пер. с англ., [М. ], 1960, § 26.