Akademik

способ построения теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к-рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к-рым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике – в учении о д е д у к ц и и; все понятия, с к-рыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа первоначальных понятий), вводятся на основе о п р е д е л е н и й, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия. Науки, к-рые строятся на основе М. а., называются дедуктивными; к последним в настоящее время относится математика, а также нек-рые разделы логики и физики (в частности, механика), тесно связанные с математикой.

М. а. возник в др.-греч. геометрии, идущей от Фалеса, Пифагора и Платона. В антич. науке он достиг кульминации в соч. Эвклида "Начала", в к-ром излагается построение значит. части известной тогда геометрии на основе этого метода. В качестве аксиом при этом выбирались предложения, по возможности наиболее очевидные в силу пространств. интуиции. Стимулом к развитию М. а. послужило, по-видимому, стремление придать всем положениям геометрии эту же степень очевидности, что было связано с убеждением в безупречности тех приемов рассуждения, к-рые применяются в доказательствах. Рассуждения в геометрии и др. разделах математики необходимы – без них невозможно разобраться в сложных соотношениях между изучаемыми объектами. Введение М. а. открывало возможность упорядочения рассуждений и на этой основе устранения ошибок типа порочного круга, представляющих большую опасность в запутанных случаях. Кроме того, М. а. способствовал выяснению логич. связей между изучаемыми понятиями и придавал изложению науки строгость. Поэтому в дальнейшем неоднократно предпринимались попытки строить на основе М. а. и др. науки: философию (Спиноза), этнологию (Вико), политическую экономию (Родбертус), а также различные разделы физики. В наст. время известны попытки использования М. а. в биологии (англ. биологом Дж. Вуджером).

Сфера применения М. а. ограничена теми науками, в к-рых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним четких предписаний формальной логики, а плодотворность М. а. проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отношениях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же играют уже подчиненную роль. По этой причине попытки применения М. а. в философии (к-рая по самому существу занимается неформальным анализом понятий, при к-ром их нельзя рассматривать как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели. Говоря о развитии М. а., можно поэтому ограничиться М. а. в математике и математической логике.

М. а. в математике прошел три стадии развития. Первая связана с появлением М. а. в антич. построении геометрии, к-рый представлялся здесь в виде нек-рого идеала. Однако М. а. не был достаточно разработан ни в "Началах" Эвклида, ни в к.-л. др. работе до 2-й пол. 19 в. Не существовало точного описания того, что следует понимать под логич. доказательством, и в рассуждения, наряду с силлогизмами, вторгались ссылки на геометрич. очевидность. Это относится особенно к утверждениям, связанным с непрерывностью геометрич. образов и их взаимным расположением в пространстве. С другой стороны, не было отчетливости во введении понятий. Введение первонач. понятий сопровождалось, напр. у Эвклида, различными разъяснениями, выглядевшими как попытки определения.

Роль М. а. в математике начала особенно возрастать после того, как в сер. 19 в. Лобачевским и венг. математиком Я. Бойай была показана возможность строить геометрию на аксиомах, отличных от эвклидовых. С этого времени можно говорить о второй стадии в развитии М. а. Появилось много геометрич. и алгебраич. теорий, к-рые строились на основе М. а. Пеано первый предпринял (1889) далеко идущую попытку аксиоматизировать арифметику, впоследствии углубленную нем. ученым Д. Гильбертом и его учениками. В этот период происходило устранение недостатков, присущих М. а. др.-греч. ученых. В геометрии они были устранены в работах Паша, Гильберта и др. В конце 19 – нач. 20 вв. различные разделы математики подвергались аксиоматизации, причем в построении этих аксиоматич. систем участвовали (по большей части неявно) теоретико-множеств. концепции. С помощью последних первонач. понятия различных областей математики сводились к арифметич. понятиям, для которых в свою очередь была предложена теоретико-множеств. интерпретация. Т.о., практически вся математика была объединена на основе теории множеств Кантора. После того как последняя была аксиоматизирована (нем. математики Э. Цермело, 1908; А. Френкель, 1922–25), можно было считать, что М. а. распространился на всю математику. Параллельно шло развитие математич. логики, в к-рой М. а. также играет большую роль.

Разработанная Гильбертом (1899) совр. аксиоматизация геометрии позволила нем. математику Ф.Клейну и Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского – Бойай относительно геометрии Эвклида. Это доказательство, основанное на важной идее интерпретации (или модели) аксиоматич. теории, состояло в указании способа истолкования понятий и предложений этой неэвклидовой геометрии в терминах эвклидовой. Метод интерпретации, предложенный Клейном – Пуанкаре для относит. доказательства непротиворечивости (или, как иначе говорят, для доказательства относит. непротиворечивости) геометрии Лобачевского – Бойай (т.е. для доказательства того, что эта геометрия непротиворечива, если непротиворечива др. известная теория, – в данном случае эвклидова геометрия), с тех пор получил широкое применение в основаниях математики и математич. логике для доказательства относит. непротиворечивости математич. и логич. теорий.

Следует подчеркнуть, что в указ. доказательствах речь идет о доказательстве непротиворечивости системы аксиом. Вопрос о том, в какой мере данная система аксиом (напр., система аксиом Гильберта) точно соответствует тому, что обычно подразумевается под геометрией, оставляется при этом в стороне: это вопрос об отношении аксиоматич. теории к нек-рой области познания. О точности этого соответствия мы судим уже не на основании средств самого М. а., а при помощи критериев, носящих практический (в широком смысле) характер, а именно критериев, учитывающих успешность отображения в рассматриваемой аксиоматич. теории интересующих нас фактов из изучаемой области (в нашем примере – элементарной геометрии).

С идеей интерпретации тесно связана др. важная для 2-й стадии развития М. а. (конец 19 – нач. 20 вв.) идея, к-рая состоит в том, что предметом изучения всякой аксиоматич. теории служит любая ее интерпретация. В самом деле, если все теоремы получаются из аксиом путем чисто логич. заключений, без использования к.-л. свойств понятий, кроме тех, к-рые содержатся в определениях и аксиомах, то, ввиду того что аксиомы во всякой интерпретации должны выполняться, теоремы данной аксиоматич. теории, в применении к рассматриваемой интерпретации, также могут быть доказаны путем соответствующих логических заключений. В этой концепции стирается грань между аксиомами и определениями. С одной стороны, вместо того, чтобы вводить к.-л. новое понятие посредством определения, можно присоединить его к числу первоначальных понятий и добавить соответствующую этому определению аксиому. Напр., вместо определения "ромб есть четырехугольник с равными сторонами", можно ввести понятие "ромб" в качестве первоначального, добавив аксиому: "четырехугольник является ромбом в том и только в том случае, если все его стороны равны"; класс доказуемых предложений – аксиом, определений и теорем – от этого не изменился бы (если игнорировать нек-рую несущественную для математики формально-грамматич. разницу между формулировками определения и аксиомы). С др. стороны, все понятия можно с помощью определений свести к первоначальным, и тогда в формулировках аксиом окажутся только первонач. понятия, соединенные логико-грамматич. связками. Т.к., кроме аксиом, при выводе теорем мы никакими др. свойствами первонач. понятий в рамках данной аксиоматич. теории не вправе пользоваться, то на аксиомы можно смотреть как на неявные определения первонач. понятий. Правда, при этом сохранится различие между явными и неявными определениями (см. Определение).

Теперь на аксиомы уже не следует смотреть, как на очевидные предложения. Аксиомы, согласно рассматриваемой концепции М. а., – это неявные определения первоначальных понятий. Вместо данных аксиом мы могли бы принять другие; тогда мы рассматривали бы др. аксиоматич. теорию, к-рая считается эквивалентной данной, если классы доказуемых предложений в обеих теориях совпадают.

Новый взгляд на аксиомы привел к расширению применимости аксиоматич. теорий, поскольку, помимо естеств. интерпретации, к-рая имеется в виду при построении каждой такой теории, последняя применима и ко всякой др. интерпретации. Так, естеств. интерпретацией для аксиоматич. элементарной геометрии служат точки, прямые и т.п. объекты наглядно воспринимаемого пространства, связанного с физич. действительностью. Но, помимо изучения этой интерпретации, аксиоматич. геометрия дает нам теперь теоремы, относящиеся, напр., к арифметич. интерпретации. Применение в классич. разделах математики таких абстрактных аксиоматич. теорий, как теория групп или полей или теория топологич. пространств, основано именно на методе интерпретации. В данном случае метод интерпретации содействует объединению различных разделов математики на основе абстрактных аксиоматич. теорий.

В связи с аксиоматич. теориями возникает ряд задач общелогич. характера; рассмотрение этих последних содействовало дальнейшему совершенствованию М. а. и привело к возникновению 3-й стадии в его развитии. Важнейшие из этих задач – доказательство непротиворечивости, а также полноты данной аксиоматич. теории. Теория должна быть непротиворечивой, потому что в случае наличия в ней противоречия она не имеет интерпретаций и потому беспредметна. Полнота теории означает, что всякое предложение, к-рое можно в ней сформулировать, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е. вывести из аксиом само это предложение или его отрицание. Полнота теории имеет несколько меньшее значение, чем непротиворечивость, поскольку и неполная теория может давать важные сведения об изучаемых ею объектах. С проблемой полноты до нек-рой степени связана другая проблема – проблема разрешения (см. Разрешения проблемы), состоящая в нахождении метода, позволяющего установить, доказуемо ли в рассматриваемой теории ее произвольно данное предложение или нет. Еще один вопрос, к-рый возникает в связи с каждой аксиоматич. теорией, состоит в том, являются ли аксиомы данной системы независимыми (см. Независимость). Если к.-л. аксиома не является независимой, то среди аксиом есть лишние, а это затрудняет доказательство непротиворечивости и установление интерпретации для данной аксиоматич. теории.

Третья, современная стадия развития М. а. началась с появления теории математич. доказательств Гильберта (1900–1904). Осн. понятия этой теории тесно связаны с математич. логикой, одним из достижений к-рой является создание языка, позволяющего записать любое математич. предложение в виде формулы. Логико-грамматич. связки разговорного языка: "если...то", "и", "или", "не", "каждый", "некоторые" выражаются при этом спец. символами, называемыми символами логич. операций. Первонач. понятиям аксиоматич. теории, выражаемым предикатами (сказуемыми) обычного разговорного языка, соответствуют при этом т.н. предикатные символы, с помощью к-рых символич. образом выражаются элементарные (т.е. неразложимые далее) предложения теории. Напр., предложение "точки а и в лежат на прямой с" можно выразить так: (((Р(а) &Р(в)) &G(c)) &In(а, в, с)), где Р(х) – (предикатный) символ, соответствующий предикату "х есть точка", G(y) – символ, соответствующий предикату "у есть прямая", а In(х, у, z) – символ, соответствующий предикату "х и у лежат на z" (& есть символ логич. связки "и"). Т.о., всякое предложение аксиоматич. теории может быть выражено в виде нек-рой формулы. Символич. язык теории задается символич. способом выражения каждого первонач. понятия теории; после этого всякое исходное предложение теории может быть выражено с помощью символов логич. операций. Это – т.н. нелогич. аксиомы. Помимо них, имеются логич. аксиомы, заимствованные из математич. логики. Те и др. аксиомы суть формулы. Из этих аксиом по определ. правилам, к-рые дает математич. логика и к-рые наз. правилами вывода, можно получить новые формулы. При этом все формулы рассматриваются как простые последовательности знаков. Аксиомы и правила вывода вместе называют иногда п о с т у л а т а м и. Хотя правила вывода и имеют чисто формальную структуру, они требуют (в отличие от аксиом и формул вообще) содержат. понимания. Аксиоматич. теории, рассматриваемые в рамках этой гильбертовской концепции, стали называть формализованными, или формальными, теориями. Анализ и изучение данной формальной теории содержательными средствами составили область исследований, к-рую наз. ее м е т а т е о р и е й.

С помощью своей теории доказательств Гильберт стремился прежде всего доказать непротиворечивость таких аксиоматич. теорий, лежащих в основе математики, как арифметика и теория множеств. Спорные вопросы этих теорий связаны с понятием бесконечности (см. Математическая бесконечность). В теории доказательств Гильберта был получен ряд важных результатов. Одним из них является теорема Гёделя о полноте классич. исчисления предикатов (1930), из к-рой следует, что непротиворечивые теории (в частности, теория множеств, если она непротиворечива) допускают интерпретацию [причем, в соответствии с результатом Лёвенхейма (1915), даже в области натуральных чисел ].

В теории доказательств произошел крутой поворот (1931), вызванный открытием Гёделя, к-рый доказал неполноту широкого класса непротиворечивых формальных теорий (см. Метатеория). В 1936 Чёрч присоединил к этим результатам теорему о неразрешимости проблемы разрешения для таких теорий.

Т.о., было обнаружено существование неразрешимых проблем в любой достаточно богатой средствами выражения (в частности, позволяющей выражать арифметику натуральных чисел) формальной теории. Это свидетельствует об ограниченности М. а. и о необходимости дополнить его др. путями установления математич. истин, а также истин тех наук, в к-рых М. а. играет определ. роль. В этом направлении особое значение имела (и до сих пор не утратила) интуиционистская математика (см. Интуиционизм) (заметим, что эту математику нельзя рассматривать как совокупность аксиоматич. теорий или как часть теории множеств). Ее средствами было получено удовлетворит. доказательство непротиво-речивости классич. арифметики. С появлением в 30-х гг. 20 в. строгого определения алгоритма возникло конструктивное направление в математике, к-рое также не сводится к М. а. Др. добавлением к М. а. является логическая семантика.

Лит.: Каган В., Основания геометрии, [т. 1–2 ], О., 1905–07; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, пер. с нем., М.–Л., 1934; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Начала Эвклида, пер. с греч., [т. 1–3 ], М.–Л., 1948–50; Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., в сб.: Успехи матем. наук, т. 3, вып. 1, M.–Л., 1948; Мостовский Α., Совр. состояние исследований по основаниям математики, там же, т. 9, вып. 3, М.–Л., 1954; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библиогр.); Есенин-Вольпин А. С, Об аксиоматич. методе, "Вопр. философии", 1959, No 7; Генкин Л., О матем. индукции, пер. с англ., М., 1962; Ван Хао, Мак-Нотон Р., Аксиоматич. системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963; Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1964; Peano G., Arithmetices principia, nova metodo exposita, Torino, 1889, его жe, Sul concetto di numero, "Riv. Mathematica", 1891, v. 1, p. 87–102, 256–67: его же, Formulaire de mathématiques, t. 1–5, Turin, 1894–1908; Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Bd 1–2, Jena, 1893–1903; Ζermelo Ε., Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, [Tl ], 1, "Math. Annalen", 1908, Bd 65; Skоlem T., Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, в кн.: Wissenschaftliche Vorträge gehalten auf dem Fünften Kongrees der Skandinavischen Mathematiker in Helsingfors von 4. bis 7. Juli 1922, Helsingfors, 1923; Whitehead Α. N. and Russel В., Principia mathematics, v. 1–3, 2 ed., Camb., 1925–27; Neumann J. von, Die Axiomatisierung der Mengenlehre, "Math. Ζ.", 1928, Bd 27; Gentzen G., Untersuchungen über das logische Schliessen, "Math. Z.", 1934–35, Bd 39, S. 176–210, 405–31; Bernays P., Axiomatic set theory, with a historical introd. by A. A. Fraenkel, Amst., 1958; Stоll R. R., Sets, logic, and axiomatic theories, S. F.–L., [1961 ]; Сurry H. В., Foundations of mathematical logic, N. Y., [1963 ].