Akademik

    ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ — одна из основных форм представления логических систем, применяемая в логике наряду с аксиоматическими системами (гильбертовского типа) и системами натурального (естественного) вывода. Термин “секвенция” происходит от слова sequent (последовательность). Он введен в логику П. Герцем (1929) и заимствован Г. Генценом, который впервые сформулировал в форме исчисления секвенций классическую и интуиционистскую логику предикатов первого порядка.

    Секвенция — это формальная запись отношения логической выводимости вида Г-” Θ, где Г и θ — последовательности (возможно пустые) разделенных запятыми формул. Вместо стрелки может использоваться “ι—” или любой другой знак логической выводимости. Левую часть секвенции называют антецедентом, а правую — сукцедентом. Содержательно в исходном генценовском варианте секвенция означает, что из конъюнкции формул, входящих в ее антецедент, логически выводима дизъюнкция формул, входящих в ее сукцедент. Напр.:А|, ...,Ап-”В),..., Вп, означает А| &... &&А„ i—B|V...vByn;-”Bi,..., Вщ означает l— B|V ... νΒη,,Αι, ...,Αη-” означает ι— -ι(Αι& ...& &Αη); а секвенция, обе части которой пусты, может интерпретироваться как логическое противоречие.

    Исчисление секвенций состоит из двух главных компонентов: основной секвенции и правил заключения (иногда их называют правилами вывода). Основная секвенция в первоначальном генценовском варианте — это секвенция вида А->А, где А — формула, но могут применяться основные секвенции и другого вида. Правила заключения делятся на два типа: логические и структурные. Логические правила заключения в свою очередь делятся на правила введения логического знака в антецедент и правила введения логического знака в сукцедент секвенции. По логическому правилу из формул, входящих в его посылки (боковых формул), в заключении с помощью введения логического знака получается более сложная формула (главная формула). Таким образом, логические правила позволяют строить сложные формулы из более простых. Число логических правил в исчислении секвенций определяется числом используемых в данном исчислении логических констант. Структурные правила (перестановка, сокращение и утончение) влияют не на структуру отдельных формул, а на структуру секвенций. В результате применения этих правил вхождения формул в антецедент или сукцедент секвенции переставляются, сокращаются или добавляются. Логические и структурные правила заключения для классической и интуиционистской логик симметричны в том смысле, что каждому антецедентному (сукцедентному) правилу соответствует в точности одно сукцеденгное (антецедентное) правило.

    Особую роль в исчислении секвенций играет правило, называемое “сечением”: Γ-”Θ,Α Α,Δ->Ψ Γ,Δ-^Θ,Ψ

    Это единственное правило, в результате применения которого формула сечения (в данном случае А) вычеркивается из вывода. Все остальные правила сохраняют так называемое свойство подформульности вывода: все формулы, входящие в посылки конкретного правила, являются подформулами некоторых формул, входящих в заключение этого правила.

    Вывод в исчислении секвенций имеет форму дерева секвенций, построение которого начинается с основной секвенции (основных секвенций) и продолжается по правилам заключения. Секвенция считается выводимой в исчислении секвенций, если можно построить вывод, в котором она является последней (конечной) секвенцией. Строго говоря, деревья в исчислении секвенций являются не выводами в стандартном смысле термина “логический вывод”, а метаконструкциями, при построении которых выполняются логические переходы от одних записей о выводимости к другим. Интерпретация секвенций при этом может быть различной, что открывает широкие возможности для исследования общих свойств формальных логических доказательств.

    С исчислением секвенций связан полученный Г. Генценом фундаментальный результат современной логики — теорема об устранении сечения, или элиминационная теорема. В доказательстве этой теоремы Г. Генцен заменяет сечение правилом смешения: Γ-”Θ,Α Α,Δ-”Ψ Г, Δ*-”θ•, Ψ где Δ* и θ* не содержат формулы А, и показывает, что из любого вывода в исчислении секвенций классической и интуиционистской первопорядковой логики можно устранить все применения этого правила.

    Существует множество модификаций первоначального генценовского варианта исчисления секвенций для классической и неклассических логик. Методологически эти модификации сводятся к тому, что изменяется форма или/и число основных секвенций, форма или/и число правил заключения или/и вводятся ограничения на применения конкретных правил заключения при построении дерева вывода. Иногда изменяется само понятие секвенции и используются такие объекты, как “надсеквенции”, “кортежи секвенций”, “структуры” и т. д. Достаточно прозрачен и эффективен подход к формулировке исчисления, при котором правилам заключения придается “глобальный” характер — их применение зависит не только от вида посылок, но и от состояния выводов этих посылок. Такие правила, в частности, расширяют возможности доказательства теоремы об устранении сечения для неклассических логик.

    Исчисления секвенций тесно связаны с табличными представлениями логических систем и обеспечивают естественный переход между синтаксическим и семантическим уровнями анализа неклассических логик. Они являются удобным аппаратом исследования количественных и качественных характеристик логических выводов и процедур поиска логических доказательств. Лит.: Математическая теория логического вывода. М., 1969.

    П. И. Быстрое