Akademik

СТЕРЖЕНЬ

СТЕРЖЕНЬ: в теории колебаний, упругое тв. тело, длина к-рого значительно превышает его поперечные размеры. При возбуждении С., напр. ударом, в нём возникают свободные колебания. Колебат. смещения ч-ц С. могут быть направлены как вдоль его оси — продольные колебания, так и перпендикулярно оси — крутильные и изгибные колебания. При крутильных колебаниях любое сечение С. закручивается по отношению к близлежащим, при изгибных — точки оси С. смещаются в поперечном направлении, а волокна, параллельные оси и расположенные по разные стороны от неё, испытывают деформации растяжения и сжатия. Любое колебание С. можно представить как сумму простейших синусоидальных его собств. колебаний того или иного вида, частоты к-рых f зависят от длины С. l, плотности материала r, формы и площади S его сечения, от упругого сопротивления его по отношению к данному типу деформаций, а также от условий закрепления его концов. Напр., для продольных колебаний свободного С., поперечные размеры к-рого значительно меньше длины волны,

где Е — модуль Юнга, n — целое число, соответствующее номеру гармонич. составляющей. Для крутильных колебаний круглого свободного стержня

где G — модуль сдвига. В случае изгибных колебаний собственные частоты не образуют гармонич. ряда, т. к. скорость распространения изгибных волн зависит от частоты; для закреплённого на концах стержня

где I — момент инерции сечения относительно нейтральной оси С., а коэфф. an принимает соответственно значения: a1=4,73; a2=7,85... Форма свободных колебаний С. зависит от того, какие из его собственных колебаний войдут в спектр, что определяется способом возбуждения. Под действием синусоидальной вынуждающей силы с частотой, совпадающей с одной из собственных частот С., наблюдается резонанс.

Практич. значение колебаний С. разнообразно. Всякую балку в строит. конструкции можно рассматривать как С., от собственных частот к-рого зависит прочность сооружения. Опасные колебания по длине, возникающие в кораблях из-за неуравновешенности двигателей, рассчитываются как колебания стержней. С. применяются в нек-рых муз. инструментах, напр. ксилофонах; изогнутым С. с двумя свободными концами явл. камертон.

СТЕРЖЕНЬ

в акустике - упругое твёрдоетело, длина к-рого значительно превышает его поперечные размеры. С. представляетсобой важный элемент линий задержки в изделиях акустоэлектроники, используется в высокочастотных пьезоэлектрич. датчиках давления, различныхмузыкальных устройствах и инструментах (ксилофоне, камертоне). К задачамколебаний С. сводятся мн. расчёты нагрузок строит. конструкций.

В С. могут распространяться продольные, крутильные и изгибные упругиеволны. В отличие от волн в неограниченных твёрдых телах, волны в С.(т. н. нормальные волны )удовлетворяют не только ур-ниям теорииупругости, но и граничным условиям на боковых и торцевых поверхностях С.

Продольные волны в С.- однородные по сечению деформации сжатия и растяжения, распространяющиеся вдоль оси С. Смещение и в низкочастотной продольнойупругой волне, длина к-рой значительно превышает поперечные размеры С.,удовлетворяет волновому ур-нию

где - плотностьматериала С., S - площадь поперечного сечения С., х - координатавдоль оси С., Е - модель Юнга. Возмущение, описываемое ур-нием (1),в случае постоянных по длине С. S и Е распространяется безизменений со скоростью . Высокочастотные продольные волны распространяются в С. как в неограниченномтвёрдом теле со скоростью

где v - коэф. Пуассона. Для большинства материалов незначительно превышает с_пр, В промежуточной областидлин волн, сравнимых с поперечными размерами С., наблюдается дисперсия.

Крутильные волны в С. соответствуют распространению симметричного отноеительнооси С. вращат. движения поперечного сечения. Ур-ние движения в этом случаедля угла закручивания сечения С.имеет вид:

где - модуль сдвига.

Скорость распространения крутильных волн не зависит от радиуса поперечногосечения, Приизменении частоты скорость распространения крутильной волны не изменяется.

Изгибные волны в С. характеризуются смещениями w точек оси С. в поперечном направлении, ур-ние для к-рых записывается в виде:

где I - момент инерции поперечного сечения С. относительно поперечнойоси, лежащей в нейтральном сечении. В случае низкочастотных волновых движенийпренебрегают членом в левой части ур-ния (2), учитывающим инерционное сопротивлениеповороту сечений С., и получают решения, описывающие две диспергирующиеволны, распространяющиеся в противоположных направлениях с фазовой скоростью

Групповая скорость низкочастотных изгибных волн в С. в два раза большефазовой. При описании высокочастотных изгибных волн учитывают поворот сеченийС. и пользуются строгим решением ур-ния (2). Высокочастотная изгибная волнав С. не испытывает дисперсии, скорость её распространения Вынужденные колебания С. под действием переменной вынуждающей силы происходятс частотой её приложения. При прекращении действия вынуждающей силы ограниченныйС. продолжает колебаться на нек-рых собств. частотах w_n.Собств. частоты продольных колебаний С. не зависят от способа его закрепленияи описываются ф-лой

где l - длина С. Аналогичная ф-ла для частот собственных крутильныхколебаний имеет вид:

Собств. частоты этих двух видов колебаний образуют гармонич. ряд. Собств. частоты изгибных колебаний С.,

, гармонич. ряда не образуют вследствие дисперсии. Напр., для случая закреплённогона концах С,

где = 4,73;= 7,85... Для случая свободно опёртого на концах С.

При совпадении частоты вынуждающей силы с одной из собств. частот С. имеет место резонанс.

Лит.: Красильников В. А., Звуковые и ультразвуковые волны в воздухе, воде и твердых телах, 3 изд., М., 1960; Тимошенко С. П., Колебания в инженерномделе, пер. с англ., М., 1959; С к у ч и к Е., Простые и сложные колебательныесистемы, пер. с англ., М., 1971. С. В. Егерев.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.