Akademik

(англ, impedance, от лат. impedio - препятствую) (комплексное сопротивление) - аналог электрич. сопротивления для гармонич. процессов. Различают И. элемента цепи перем. тока (И. двухполюсника) н И. к.-л. поверхности в монохроматич. эл.-магн. поле (полевой И., поверхностный И.).Понятие И. было введено в электродинамику О. Хевисайдом (О. Heaviside) и О. Лоджем (О. Lodge), понятие полевого И.- С. Щелкуновым (S. Schelkunoff, 1938). Импедансные характеристики используют не только в электродинамике, их вводят для описания линий передачи волновых возмущений любой природы (см., напр., Импеданс акустический).
Импеданс двухполюсника. В теории электрич. цепей любую часть цепи, состоящую из пассивных линейных элементов (таких, как сопротивления r, индуктивности L,ёмкости С, трансформаторы) и имеющую две точки (полюса) подключения к остальной цепи (рис. 1), в случае квазистационарных гармонич. процессов с зависимостью от временя ~exp(iwt) можно рассматривать как пассивный двухполюсник, все внеш. свойства к-рого описываются одной комплексной величиной Z, наз. И. двухполюсника и равной

Z (w) = V/I =R(w) + iX(w).

Рис. 1. Электрическая цепь, включающая пассивные линейные элементы и имеющая два полюса: a - схема цепи; б - эквивалентный двухполюсник с импедансом Z(w).

Здесь V - комплексная амплитуда напряжения между полюсами 1 и 2, I - комплексная амплитуда тока в направлении от полюса 1 к полюсу 2; R - веществ. часть импеданса (активное сопротивление), X - мнимая часть И. (реактивное сопротивление, реактанс). Модуль И. |Z|=(R²+X²)^1/2 наз. полным сопротивлением двухполюсника. В СИ И. измеряется в Омах, в Гаусса системе единиц имеет размерность, обратную скорости. Иногда наряду с И. Z используют обратную ему величину s=Z^-1, наз. адмитансом. Активное сопротивление R ответственно за потери энергии, поступающей в двухполюсник. Мощность потерь Р (средняя за период колебаний Т=2p/w )выражается соотношениемР =R|I|²/2.Реактанс характеризует величину энергии, пульсирующей с частотой 2w (и потому в среднем за период равной нулю), накапливаемой в двухполюснике и отдаваемой обратно источнику. Знак реактанса определяется зависимостью от времени: в технике и прикладной физике (и в данной статье) полагают еёв теоретич. физике обычно принимают В случае чисто индуктивного двухполюсника ( индуктивное сопротивление) Х=Х _L=wL (в СИ; в системе единиц Гаусса X_L=c^-2wL), а для чисто ёмкостного (ёмкостное сопротивление) Х=Хс=-(wС)^-1. Различие в знаках порождается дуальной асимметрией Максвелла уравнений (Е "H, Н "-E )и отражает соотношение между фазами напряжений и токов: ток в идеальной катушке самоиндукции отстаёт по фазе на p/2 от приложенного напряжения, а ток через идеальный конденсатор опережает па тот же угол напряжение, создаваемое на его обкладках. Правила сложения И. при последоват. и параллельном их соединении такие же, как и в случае обычных омических сопротивлений: при последоват. соединении двухполюсников складываются И. Z, а при параллельном - адмитансы Z^-l. Напр., для двухполюсника, изображённого на рис. la, имеем:

Z^-1 = (r+ iwL)^-1+iwC.

Матрица импеданса. Разветвлённую электрич. цепь, имеющую более двух точек подключения, наз. многополюсником [если число пар точек подключения (входов) равно N, то цепь наз. 2N -полюсником]. На входах многополюсника должны быть заданы направления отсчёта напряжений и токов (рис. 2). Если многополюсник включает в себя только линейные, пассивные ивзаимные элементы, то для квазистационарных гармонич. процессов все его внеш. свойства описываются матрицей импеданса ||Z_ab||, связывающей комплексные амплитуды напряжений и токов на входах при произвольном подключении к когерентным источникам:

Напр., для четырёхполюсника, изображённого на рис. 3, а, элементы матрицы И. равны: Z₁₁=Z₁+Z₃,Z₂₂=Z₂+Z₃, Z₁₂=Z₂₁=Z₃. В силу взаимности принципа матрица ||Z_ab|| симметрична, т. е. Z_ab=Z_ba
Входной импеданс. Свойства многополюсников можно описать и с помощью т. н. входных И. отд. входов.

Рис. 2. Многополюсник, все внешние свойства которого задаются матрицей импеданса ||Z||.

При этом по отношению к выбранному входу многополюсник рассматривают как двухполюсник, а все остальные входы считают нагруженными произвольными И. Z _нb. Поэтому входные И. являются ф-циями не только частоты, но и нагрузочных И. Так, для четырёхполюсника, приведённого на рис. 3:

Для согласования произвольной нагрузки Z _н с источником, имеющим внутр. И. Z _вн, используют недиссипативные четырёхполюсники (без поглощающих элементов), добиваясь выполнения условия Z _вх(Z _н)=Z* _вн (* означает комплексное сопряжение). При этом достигается макс. передача энергии от источника к нагрузке (кпд равен 50%, остальная энергия поглощается внутри источника). Если требуется обеспечить высокий кпд передачи, выбирают такой согласующий четырёхполюсник, чтобы выполнялись условия: R _вх(Z _н )дR _вн, X _вх(Z _н)=-Х _вн.
Волновой импеданс. Входной И. четырёхполюсника, удовлетворяющий условию Z _вх(Z _н=Z _в)=Z _н= Z _в, наз. волновым импедансом, ибо в бесконечной цепочке, составленной из одинаковых четырёхполюсников, будут без отражений распространяться волны (в общем случае экспоненциально затухающие) с пост. значением отношения напряжения к току. В пределе непрерывной однородной линии передачи это отношение в любой нормальном сечении постоянно и при отсутствии потерь равно Z _в = (L _п/C _п)^1/2, где L _п, С _п- погонные (на единицу длины) индуктивность и ёмкость лииии. Для линии конечной длины, нагруженной на Z _н№Z _в, коэф. отражения (отношение комплексных амплитуд отражённой и падающей волн) равен

Г=(Z _н-Z _в)/(Z _н+Z _в). (1)

При Z _н=0 и Z _н ":, что соответствует короткозамкнутой и разомкнутой линиям, имеет место полное отражение (Г=71). Длинные линии не являются квазистационарными системами, поэтому понятие напряжения является условным. Обычно его относят только к точкам, лежащим в одном нормальном сечении линии S_n, а путьинтегрирования g₁₂ выбирают лежащим в этом же сечении

Поверхностный (полевой) импеданс вводят длямонохроматич. эл.-магн. полей Е(r)exp(iwt), H(r)exp(iwt)на любой условной поверхности S след. образом:

где E_t, Н _t - тангенц. составляющие напряжённостей электрич. и магн. поля, п - единичная нормаль к S, её направление выбирают обычно так, чтобы проекция на неё среднего по времени потока энергии (вектора Пойнтинга П=(с/8p)Rе [ЕН*] была положительна. Входящий в (2) И.в общем случае является тензором, компоненты к-рого зависят от поляризации поля. В тех случаях, когда Е_t и Н_t взаимно перпендикулярны, вводят скалярный полевой И. Z. В гауссовых единицах полевой И. безразмерен, а в СИ имеет размерность сопротивления. Иногда для И. в системе единиц Гаусса используют выражение при этом имеет размерность сопротивления. Эл.-магн. волны разных типов (моды) характеризуются разл. полевыми И., задаваемыми на волновых фронтах. Так, для поперечной плоской волны (типа ТЕМ), распространяющейся в направлении п в изотропной среде или в волноводе, (m, e - относительные магн. и диэлектрич. проницаемости среды, e₀, m₀ - проницаемости вакуума, в системе единиц Гаусса e₀=m₀=1). В вакууме Ом, эта размерная константа наз. характеристич. импедансом вакуума (в системе единиц Гаусса ). Для волн типа ТМ и ТЕ соответствующие И. таковы:

где k - волновое число, k_|| - продольная компонента волнового вектора. Для критич. частот (k_|| "0) Z_TM "0, Z_TE ":, a для закритических, когда волна превращается в экспоненциально убывающую моду:

т. е. в первом случае речь идёт о преимуществ. запасе электрич. энергии (ёмкостный И.), во втором - магнитной (индуктивный И.).При отсутствии потерь полевой И. для распространяющихся волн - величина действительная; иногда её наз. волновым сопротивлением среды, поскольку она обладает мн. свойствами волнового сопротивления линии или цепочки четырёхполюсников. В частности, при падении плоской волны из среды 1 на плоскую границу раздела со средой 2 коэф. отражения (по амплитудам полей) аналогично (1) выражается в виде

Это выражение представляет собой Френеля формулы, записанные через И. (р-поляризации соответствует мода ТМ,s-поляризации - мода ТЕ,(k_||/k)^(1,2)=cosq^(l,2), q^(l) и q⁽²⁾ - углы падения и преломления). При исследовании отражения от плоскослоистых неоднородных сред часто ур-ния для полей преобразуют в ур-ния для полевых И., при этом порядок ур-ний понижается. Существенны т. н. импедансные поверхности, т. е. поверхности с заданным, фиксированным на них значением полевого И. Фактически фиксация осуществляется (в большинстве случаев приближённо), когда структура поля "под поверхностью" неизменна и определяется к.-л. свойствами среды или формирующих поле устройств. Так, при падении волны на хорошо поглощающую среду волна уходит в глубь среды почти по нормали, независимо от угла падения, следовательно, "входной" И. можно считать фиксированным иравным Z⁽²⁾_TEM (Леонтовича граничное условие). С помощью импедансных поверхностей моделируют границы направляющих устройств в антеннах, замедляющих системах и т. д. Лит.: Основы теории цепей, 4 изд., М., 1975; Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982; Будурис Ж., Шеневье П., Цепи сверхвысоких частот, пер. с франц., М., 1979.Г. В. Пермитин, М. А. Миллер.