Akademik

Физ. признаком устойчивости или неустойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной упругой системы при её отклонении от рассматриваемого положения равновесия на нек-рую малую величину. Если система, отклонённая от положения равновесия, возвращается в первонач. положение после устранения причины, вызвавшей отклонение, то равновесие устойчиво. Если отклонение не исчезает, а продолжает расти, то равновесие неустойчиво. Нагрузка, при к-рой устойчивое равновесие переходит в неустойчивое, наз. критической нагрузкой, а состояние системы — критическим состоянием. Установление критич. состояний и составляет осн. предмет теории У. у. с.

Для прямого стержня, сжатого вдоль оси силой Р, значение критич. силы Ркр определяется ф-лой Эйлера:

Ркр=p2EI/(ml)2,

где Е — модуль упругости материала, I — момент инерции поперечного сечения, l — длина стержня, m— коэфф., зависящий от условий закрепления концов. В случае двух шарнирных опор, одна из которых неподвижна, а вторая подвижна, m=1.

Для прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении, критич. напряжение равно:

sкр=Kp2D/b2h,

где D=Eh3/12(1-n)2 — т. н. цилиндрич. жёсткость, b и h — ширина и толщина пластинки, v — коэфф. Пуассона материала, К — коэфф., зависящий от условий закрепления краёв и от отношения между размерами пластинки.

В случае круговой цилиндрич. оболочки, сжатой вдоль оси, можно установить т. н. верхнее критич. напряжение sкр в=(1/O(3(1-n2)))E(h/R); h и R — толщина и радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Несколько иную структуру имеют ф-лы для верх. критич. напряжения при действии поперечного давления или скручивающих пар. Потеря устойчивости реальных оболочек во мн. случаях происходит при меньшей нагрузке вследствие значит. влияния разл. факторов, особенно начальных неправильностей формы.

Для сложных конструкций точное решение задачи У. у. с. затруднено, поэтому прибегают к разл. приближённым методам. Для мн. из них пользуются энергетич. критерием устойчивости, в к-ром рассматривается хар-р изменения потенц. энергии П системы при малом отклонении её от положения равновесия (для устойчивого равновесия П=min). При рассмотрении неконсервативных систем, напр. стержня, сжатого силой, наклон к-рой меняется в процессе выпучивания (следящая сила), применяется динамич. критерий, заключающийся в определении малых колебаний нагруженной системы.

Важное значение имеет исследование т. н. закритич. поведения упругих систем. Оно требует решения нелинейных краевых задач. Для стержня закритич. деформация оказывается возможной лишь при его очень большой гибкости. Напротив, для тонких пластинок вполне возможны значит. прогибы в закритич. стадии — при условии, что края пластинки подкреплены жёсткими стержнями (стрингерами). Для оболочек закритич. деформация связана обычно с прощёлкиванием и потерей несущей способности конструкции.

Приведённые выше данные относятся к случаю, когда потеря У. у. с. имеет место в пределах упругости материала. Для исследования У. у. с. за пределами упругости пользуются пластичности теорией. Если нагрузка, приводящая к потере устойчивости, динамическая, необходимо учитывать силы инерции элементов конструкции, отвечающие характерным перемещениям. При ударных нагрузках исследуются волн. процессы передачи усилий в конструкции. Если материал конструкции находится в состоянии ползучести, для определения критич. параметров пользуются соотношениями теории ползучести.