Akademik

Тензор напряжений

Тензор напряжений: совокупность величин, характеризующая напряжённое состояние сплошной среды в рассматриваемой точке поля течения:
||P|| = (p(αβ))
где (α, β) = x, y, z — декартовы координаты, p(αβ)((α = β)) — нормальные напряжения, p(αβ) ((α ≠ β)) — касательные напряжения (см. Поверхностностные силы). Т. н. симметричен, то есть
p(αβ) = p(βα) ((α ≠ β)),
и для него существуют так называемые главные оси x('), y('), z('), в которых касательные напряжения обращаются в нуль и Т. н. содержит только диагональные члены:
p1 = px(')x('), p2 = py(')y('), p3 = pz(')z(').
Для Т. н. сумма его диагональных членов является инвариантом линейных преобразований
pxx + pyy + pzz = p1 + p2 + p3,
то есть сумма нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, не зависит от ориентации площадок. Это позволяет представить Т. н. в виде
||P|| = —pE + ||T||,
где p — давление гидродинамическое, Е — единичный тензор, ||T|| = ((ταβ)) — тензор вязких напряжений (напряжений трения), который отличен от нуля только в движущейся жидкости.
Т. н. зависит от локальных свойств и характера движения среды и связан с тензором скоростей деформаций ||Ф||. В аэро- и гидродинамике обычно используется линейная зависимость между ||P|| и ||Ф|| с коэффициентами (μ, λ), не зависящими от выбора системы координат:
||P|| = (-p + (λ)divV)E + (μ)||Ф||.
Коэффициент (μ) называют динамической вязкостью, а жидкости, для которых выполняется приведенное соотношение, — ньютоновскими. Для идеальной жидкости, для которой μ = λ = 0 и в которой возникают только нормальные напряжения (pxx = pyy = pzz = pn), будем иметь
p = —() ||P|| = —()(pxx + pyy + pzz) = -pn.