Akademik

Функция тока

Функция тока: скалярная функция (ψ) пространственных координат и времени t, сохраняющая неизменным своё значение на линии тока, то есть удовлетворяющая условию
Vgrad(ψ) = 0,
где V — вектор скорости. В аэро- и гидродинамике существование Ф. т. является следствием неразрывности уравнения. Для плоскопараллельного течения в декартовой системе координат х, у Ф. т. связана с проекциями и, (υ) вектора скорости на эти оси и плотностью (ρ) соотношениями

Уравнение (ψ)(x, y) = const определяет семейство линий тока исследуемого течения, а разность значений Ф. т. — расход жидкости или газа между двумя линиями тока. Для осесимметричного течения в цилиндрической системе координат х, r Ф. т. связана с компонентами иx, иr вектора скорости соотношениями

и её часто называют Ф. т. Стокса. Уравнение (ψ)(х, r) = const определяет семейство поверхностей тока, полученных вращением линий тока вокруг оси симметрии, а разность значений Ф. т. характеризует расход жидкости или газа между двумя рассматриваемыми поверхностями тока. Для трёхмерного течения приходится вводить две функции тока.
Ф. т. используются при изучении движения как идеальной жидкости, так и вязкой жидкости, поэтому уравнения и граничные условия, определяющие их поведение, зависят от исследуемой задачи. В общем случае для определения Ф. т. служат количества движения уравнения, в которых компоненты вектора скорости заменены их выражениями через производные Ф. т. В частном случае плоскопараллельного безвихревого течения идеальной жидкости Ф. т. является решением уравнения Лапласа (∆ψ) = 0.