Akademik

- преобразование пространства, сохраняющее геометрич. свойства фигур (размеры, форму и др.). Понятие Д. сформировалось путем абстракции реальных перемещений твердых тел в евклидовом пространстве. Д. принимается иногда в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии.

Д. евклидова пространства - преобразование пространства, сохраняющее расстояние между точками. Д. наз. собственным (Д. первого рода) или несобственным (Д. второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства.

На плоскости собственные Д. выражаются аналитически в прямоугольной системе координат ( х, у )при помощи следующих формул

показывающих, что совокупность всех собственных Д. на плоскости зависит от трех параметров а, b,j. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор ( а, b), а параметр j - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственное Д. представляет собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол j и параллельного переноса на вектор (а, b). Всякое собственное Д. может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.

Несобственные Д. выражаются при помощи формул

показывающих, что несобственное Д. есть произведение собственного Д. на преобразование симметрии, относительно нек-рой прямой. Всякое несобственное Д. представляет собой произведение параллельного переноса вдоль нек-рого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.

В пространстве собственное Д. есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или может быть представлено в виде произведения вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси (винтовое Д.). Несобственное Д. есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости, либо - в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости.

В прямоугольной системе координат ( х, у, z )в пространстве Д. выражается аналитически при помощи формул

где элементы матрицы ||a_ij|| удовлетворяют следующим условиям ортогональности

(d_rs=l при r=s,d_rs= 0 при ). Д. является собственным или несобственным в зависимости от того, равняется ли определитель этой матрицы 1 или -1. См. Ортогональное преобразование.

Аналогично в случае n-мерных евклидовых пространств Д. выражается аналитически в прямоугольных координатах при помощи ортогональной матрицы A=||a_ij||:

Д. риманова пространства - взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса C^s,, при к-ром сохраняются длины соответствующих линий. Линейный элемент пространства

где по индексам a, b производится суммирование, инвариантен относительно Д. Аналитически Д. определяется формулами, выражающими координаты преобразованной точки через координаты исходной точки М( х ⁱ )при помощи функций fⁱ(x)класса C^s:

(*)

Условие инвариантности линейного элемента означает, что

Важное значение имеет понятие Д. в римановых пространствах общей теории относительности: в сильных асимметрических гравитационных полях твердые тела могут иметь лишь весьма ограниченные движения. Возможны также случаи, когда они не будут вовсе допускать никаких Д. В последней ситуации при любом преобразовании пространства метрика не остается инвариантной. Другими словами, любое перемещение сопровождается деформацией тела.

Д. пространства аффинной связности- взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса C^s, s>2, при к-ром всякое поле параллельных векторов вдоль любой гладкой линии переходит в поле параллельных векторов преобразованной кривой. При Д. объект аффинной связности переходит в себя. Обратно, всякое отображение (*), переводящее объект аффинной связности в себя, есть Д.

Д. составляют группу преобразований (см. Движений группа). Они являются простейшими преобразованиями пространства.

Лит.:[1] Егоров И. П., Лекции по аксиоматике Вейля в неевклидовым геометриям, Рязань, 1973; [2] его же, Движения в пространствах аффинной связности, Казань, 1965; [3] Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П., Геометрия, т. 1, М., 1974.

И. П. Егоров.