Akademik

марковский процесс, являющийся стационарным случайным процессом. М. с. п., отвечающий однородной марковской переходной функции, существует тогда и только тогда, когда существует стационарное начальное распределение m(А), отвечающее этой функции, т. е. m(A).удовлетворяет уравнению

Если фазовое пространство процесса X - конечное множество, то стационарное начальное распределение существует всегда, независимо от того, рассматривается процесс с дискретным (t=0,1, 2, ...) или непрерывным временем. Для процесса с дискретным временем и счетным множеством Xусловие существования

Стационарного распределения найдено А. Н. Колмогоровым [1]: для этого необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой класс сообщающихся состояний что математич. ожидание времени попадания из в было конечно для любых Этот критерий обобщается на строго марковские процессы с произвольным фазовым пространством X:для существования стационарного процесса достаточно, чтобы существовал компакт такой, что математич. ожидание времени достижения Киз хконечно для всех Справедливо следующее достаточное условие существования М. с. п. в терминах Ляпунова стохастических функций:если существует функция для к-рой при то М. с. п., отвечающий марковской переходной функции существует.

В случае, когда стационарное начальное распределение m единственно, соответствующий стационарный процесс эргодичен. В этом случае среднее по Чезаро переходных вероятностей слабо сходится к m. При нек-рых дополнительных условиях

Стационарное начальное распределение удовлетворяет уравнению Фоккера - Планка - Колмогорова L*m=0, где L* - оператор, сопряженный к инфинитезимальному оператору процесса. Напр., для диффузионных процессов L* - сопряженный оператор к производящему дифференциальному оператору процесса. В этом случае mимеет плотность р, относительно лебеговой меры, удовлетворяющую уравнению L*p=0. Для одномерного случая это уравнение решается в квадратурах.

Лит.:[1] К о л м о г о р о в А. Н., Цепи Маркова со счетным числом возможных состояний, М., 1937; [2] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [3] С е в а с т ь я н о в Б. А., "Теория вероятн. и ее примен.", 1957, т. 2, в. 1, с. 106 -16. Р. 3. Хасьминский.