Akademik

- полугруппа с нулем, некоторая степень каждого элемента к-рой равна нулю. Н. составляют один из важнейших классов периодических полугрупп:. это в точности периодич. полугруппы с единственным идемпотентом, являющимся нулем. Более узкий класс составляют локально нильпотентные полугруппы (л. н. п., то есть полугруппы, каждая конечно порожденная подполугруппа к-рых нильпотентна, см. Нильпотентная полугруппа). Для любого существует полугруппа с тождеством , не являющаяся л. н. п. (см., напр., [1] гл. VIII, 4). Конечная Н. нильпотентна, и л. н. п.- это в точности локально конечные Н. (см. Локально конечная полугруппа). Еще более узкий класс составляют полугруппы с возрастающим аннуляторным рядом (в. а. р.). Полугруппа Sназ. полугруппой с в. а. р., если она обладает начинающимся с нуля возрастающим идеальным рядом (см. Идеальный ряд полугруппы), для любых двух соседних членов , к-рого имеет место

Н. будет полугруппой с в. а. р. тогда и только тогда, когда она обладает возрастающим рядом идеалов, все факторы к-рого конечны. Всякая полугруппа с в. а. р. имеет единственное неприводимое порождающее множество, состоящее из ее неразложимых элементов. Произвольная же л. н п. может совпадать со своим квадратом. Наложение на Н. многих условий конечности (см. Полугруппа с условием конечности )влечет конечность полугруппы; таковы, напр., условие минимальности для идеалов, условие максимальности для правых (левых) идеалов. Если все нильпотентные подполугруппы Н. Sконечны, то и Sконечна.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Шеврин Л. Н., "Матем. сб.", 1961, т. 53, № 3, с. 367-86; [3] его же, там же, т. 55, № 4, с. 473- 480.

Л. Н. Шеврин.