Akademik

(5-матрица) в квантовой теории - оператор, переводящий состояние системы (точнее, вектор состояния)до рассеяния

(пли реакции) в состояние после рассеяния:

В конкретном представлении (см. Представлений теория )таким оператором является матрица, строки и столбцы к-рой удобно нумеровать значениями полного набора физ. величин, сохраняющихся при свободном движении частиц. M. р. имеет важное значение в квантовой механике и является одним из осн. объектов в квантовой теории поля.

Понятие M. р. возникает в квантовомеханич. задаче о рассеянии на потенциальном центре (см. Рассеяние микрочастиц). Физ. картина рассеяния бесспиновой частицы на финитном потенциале подсказывает, что в асимптотике (при ) решение стационарного Шрёдингера уравнения

(- Лапласа оператор,- импульс частицы; принята система единиц, в к-рой и = с = 1) должно иметь слагаемое, отвечающее частице, налетающей на рассеивающий

центр по направлению и слагаемое, описывающее удаляющуюся по всем возможным направлениям n частицу,

Здесь - d-функция на единичной сфере, определяемая соотношением

в сферич. системе координат.

Для свободной частицы при имеем

так что в отсутствие взаимодействия M. р. тривиальна:

Для нетривиального рассеяния M. р. определяется как интегральный оператор S с ядром

ф-ция наз. амплитудой рассеяния. S действует в пространстве квадратично суммируемых на сфере ф-ций ( волновых пакетов). Благодаря описанному выше асимп-тотпч. поведению этот оператор унитарен. Существование решений с нужным асимптотич. поведением следует из нестационарной теории рассеяния.

Для физ. приложений удобен др. базис в пространстве состояний - состояния с определ. энергией и угл. моментом, (где l- орбитальное квантовое число). Тогда S представлен для бесспиновых частиц диагональной матрицей

где - фаза рассеяния- символ Кронокора).

В более сложных случаях (частицы со спином, неупругое рассеяние, процессы рассеяния и поглощения частиц в релятивистской теории) элементы S-матрицы получают новые квантовые числа, и она перестаёт быть диагональной. Однако во всех случаях эфф. сечения непосредственно выражаются через квадраты модулей её элементов.

T. о., для решения задачи рассеяния достаточно знать только асимптотику волновой ф-ции (или S-матрицу), а не её поведение при всех конечных г. Это побудило В. Гейзенберга (W. Heisenberg), исходившего из общей идеологии об исключении ненаблюдаемых величин, выдвинуть в 1943 S-матрицу как осн. объект теории, полностью характеризующий взаимодействие частиц, к-рый должен строиться непосредственно, без обращения к гамильтониану и связанному с детальным пространственно-временным описанием ур-нию Шрёдингера.

В Фока представлении S -матрица, как и любой др. оператор, может быть записана в виде формального ряда по операторам рождения и уничтожения, коэффициентные ф-ции к-рого непосредственно связаны с амплитудами перехода между любыми состояниями невзаимодействующих частиц. Эти коэффициентные ф-ции не могут быть совершенно произвольными. Определ. фундам. физ. требования, к-рым обязательно должна удовлетворять S-матрица, налагают на них ряд ограничений и взаимных связей. Из этих требований Гейзенбергом были явно сформулированы: 1) релятивистская ковариантность, т. е. вытекающее из относительности теории требование независимости теоретич. предсказаний от выбранной системы координат (S должна быть инвариантом); 2) унитарность:

(⁺ означает эрмитово сопряжение), необходимая, чтобы сохранялась норма вектора состояния (вероятность найти систему после рассеяния в к.-л. состоянии должна равняться единице). В условие унитарности включают и требование существования полной системы состояний. Однако Гейзенберг не рассмотрел требования причинности, к-рому, хотя бы в виде условия макропричинности, теория обязательно должна удовлетворять. Поэтому такая постановка задачи оказалась слишком общей и не принесла сразу конечных результатов.

В дальнейшем в работах Э. Штюкельберга (E. G. G. Stueckelberg) и H. H. Боголюбова требование причинности было учтено. Чтобы его сформулировать, необходимы к.-л. локальные операторы. H. H. Боголюбов ввёл для этой цели вариационные производные 5-мат-рицы по локальным (зависящим от точки c пространства-времени) объектам (полям). В фоковскомпредставлении S-матрицу можно представить в виде разложения по нормальным произведениям локальных квантовых полей j(x)(CM. Квантовая теория поля):

Под знаком нормального произведения : ... : поля удовлетворяют Клейна- Гордона уравнению или, как говорят, находятся на поверхности энергии. Чтобы воспользоваться обычным определением вариационной производной функционала, следует рассматривать это разложение при любых , т. е. расширенным за поверхность энергии.

T. о., чтобы наложить условие причинности и извлечь заложенную в нём физ. информацию, приходится сначала расширить введённое Гейзенбергом понятие M. р. до более широкого объекта - S-матрицы вне поверхности энергии, сформулировать для него условие микропричинности и после этого использовать связи между матричными -элементами, к-рые из него следуют. Подчеркнём, что в конце концов с наблюдаемыми величинами опять связывается только ограничение M. р. на энергетическую поверхность.

Довести этот путь прямого построения M. р. до конечных ф-л, дающих полное описание рассеяния, удаётся только, если прибегнуть к разложению в ряды теории возмущений. При этом оказывается, что требования релятивистской инвариантности, унитарности и причинности ограничивают теорию столь же сильно, как и принятие гамильтонова метода, и приводят по существу к тем же результатам, что и развитый С. To-монагой (S. Tomonaga) и Ю. Швингером (J. Schwinger) способ, обобщающий на релятивистский случай упомянутый выше метод получения M. р. через асимптотику решений ур-пий Шрёдингера. На обоих путях для M. р. получается компактная символич. запись в виде т. н. хронологич. экспоненты (см. Хронологическое произведение):

где - лагранжиан взаимодействия во взаимо действия представлении. Фактически эта ф-ла - краткая запись ряда теории возмущений, последоват. члены к-рого изображаются Фейнмана диаграммами, вычисляемыми с помощью правил Фейнмана, с применением процедуры перенормировок.

Однако теория возмущений не всегда применима. В таких случаях пользуются др. методами, в к-рых центр, роль играют рассмотрение M. р. в целом и изучение общих свойств её матричных элементов, прямо описывающих амплитуды процессов рассеяния и рождения. Гейзенберговы локальные операторы могут быть тогда выражены через расширенную за поверхность энергии M. р. и играют важную роль, поскольку через них иакладывается центральное в S-матричном подходе условие причинности Боголюбова. Это условие приводит к обращению в нуль матричных элементов M. р. в определ. пространственно-временных областях. С др. стороны, условие унитарности в комбинации с положительностью масс всех состояний полной системы (условием спектральности) приводит к обращению в нуль фурье-образов тех же матричных элементов в определ. импульсных областях. Из этих двух свойств можно вывести, что для каждого заданного числа и сорта частиц амплитуды всех возможных реакций суть граничные значения одной аналитической функции многих комплексных переменных, фактически зависящей лишь от их лоренц-инвариантных комбинаций. Из этих свойств голоморфности можно вывести ряд непосредственно связывающих опытные факты физ. следствий. Так, в простых случаях двухчастичного рассеяния, напр. для рассеяния пионов на нуклонах, выписываются дисперсионные соотношения, выражающие вещественную часть амплитуды рассеяния через интеграл от её мнимой части (см. Дисперсионных соотношений метод). На этом пути приходят и к др. важным модельно независимым результатам, не опирающимся на конкретную форму взаимодействия, таким, как перекрёстная. симметрия, правила сумм, асимптотические теоремы, результаты относительно асимптотич. автомодельности формфакторов. В то же время этот путь позволяет исследовать многие сложные явления типа глубоко неупругих процессов и даёт благодаря условиям унитарности и перекрёстной симметрии способы исследования связей между амплитудами и сечениями отд. процессов.

T. о., исследование аналитич. свойств амплитуд, основанное на аксиоматическом 5-матричном подходе с условиями причинности и предположениями о спектре масс (см. Аксиоматическая квантовая теория поля), позволяет получать, хотя и ограниченные, но важные точные результаты.

Лит.:Heisenberg W., Beobachtb. Grossen in der Theorie der Elementteilchen, "Z. Phys.", 1943, Bd 120, S. 513, 673; Новейшее развитие квантовой электродинамики, Сб. ст., под ред. Д. Д. Иваненко, M., 1954; Боголюбов H. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., M., 1984; Боголюбов H. H., Медведев Б. В., Поливанов M. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, M., 1958; ПомеранчукИ. Я., Равенство полных сечений взаимодействия нуклонов и антинуклонов при больших энергиях, "ЖЭТФ", 1958, т. 34, с. 725; Дирак П. A., M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., M., 1979, гл. 8;Берестецкий В. Б., Динамические свойства элементарных частиц и теория матрицы рассеяния, "УФН", 1962, т. 76, с. 25; Новожилов Ю. В., Введение в теорию элементарных частиц, M., 1972; Логунов А. А., Мествиришвили M. А., Хрусталев О. А., Ограничения на поведение сечений упругих и неупругих процессов при высоких энергиях, "ЭЧАЯ", 1972, т. 3, с. 515; Боголюбов H. H., Владимиров В. С., Тавхелидзе A. H., Об автомодельной асимптотике в квантовой теории поля, "ТМФ", 1972, т. 12, с. 305; Тодоров И. Т., Аксиоматический подход в квантовой теории поля, в кн.: Международная зимняя школа теоретической физики при ОИЯИ, Дубна, 1964; Медведев Б. В., П о'-ливанов M. К., К аксиоматическому построению матрицы рассеяния, там же; Файнберг В. Я., Уравнения квантовой теории поля в аксиоматическом подходе, там же; Меркурьеве. П., Фаддеев Л. Д., Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, M., 1985.

Б. В. Медведев, M. К. Поливанов.