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Gleichung,

 

1) Astronomie: Gleichung des Mondes, jährliche Ungleichheit, eine Störung der Mondbewegung infolge der unterschiedlichen Einwirkung der Sonne auf den um die Erdbahn »pendelnden« Mond im Verlaufe des Jahres. Die Dauer eines Mondumlaufs um die Erde kann dadurch bis zu 10 min größer oder kleiner als die mittlere Umlaufdauer sein, während die Abweichungen des Mondortes maximal ± 11' 10'' betragen.

 

 2) Mathematik: Ausdruck für eine Gleichheitsbeziehung. Sie entsteht durch das Gleichsetzen zweier Terme T₁ (z. B. 3x + 4) und T₂ (z. B. 4y + 1), der Seiten der Gleichung, dargestellt durch das Gleichheitszeichen (=), d. h. T₁ = T₂ (3x + 4 = 4y + 1).

 

Die in den Bestimmungsgleichungen verwendeten Variablen werden auch unterteilt in Lösungsvariable (Gleichungsvariable, Unbekannte) für diejenigen Größen, die man aus der Gleichung bestimmen will, und in Parameter für die übrigen Variablen. Enthält die Gleichung keine Variablen (z. B. 3 + 7 = 10), so liegt eine Aussage vor, ansonsten eine Aussageform.

 

Die Menge M der Zahlen oder Zahlentupel, die man für die Lösungsvariablen einsetzen darf, heißt Grund- oder Definitionsmenge der Gleichung. Diejenigen Elemente der Grundmenge, bei deren Einsetzung für die Lösungsvariablen die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, heißen Lösungen der Gleichung; die Menge der Lösungen einer Gleichung ist deren Lösungsmenge L.

 

Eine Gleichung, die bei jedem Einsetzen eines (beliebigen) Elementes der Grundmenge zu einer wahren Aussage wird, heißt allgemein gültige oder identische Gleichung; ihre Lösungsmenge ist die Grundmenge M; so gilt z. B. für alle Zahlen x + y = y + x. Eine Gleichung, die bei keiner Einsetzung von Elementen der Grundmenge zu einer wahren Aussage wird, heißt nicht erfüllbare (unlösbare) Gleichung, ihre Lösungsmenge ist die leere Menge, z. B. 4x + 2 = 4x. Die Nichterfüllbarkeit von Gleichungen gab u. a. Anlass zur Erweiterung der Zahlenbereiche. Z. B. ist die Gleichung x² = 2 über der Grundmenge der rationalen Zahlen unerfüllbar, über der der reellen Zahlen erfüllbar, ihre Lösungsmenge ist L = {+, — }; die Gleichung x² + 1 = 0 ist über der Grundmenge der reellen Zahlen unerfüllbar, über der der komplexen Zahlen erfüllbar, ihre Lösungsmenge ist L = {+i, —i}, wobei i² = -1 die imaginäre Einheit ist. Eine Gleichung, die für gewisse Einsetzungen von Elementen der Grundmenge wahre Aussagen, für andere Einsetzungen falsche Aussagen ergibt, heißt erfüllbare (lösbare) Gleichung; ihre Lösungsmenge ist eine echte Teilmenge der Grundmenge M. Beispiele:

 

Man kann die Gleichung auch nach der Anzahl der Lösungsvariablen einteilen, so ist 3x + 4 = 2 eine Gleichung in einer Variablen, 2x + y = 0 eine Gleichung in zwei Variablen usw. Nach Art der Terme unterscheidet man die algebraischen Gleichungen von den nichtalgebraischen (transzendenten). Zur ersten Gruppe gehören alle Gleichungen, deren Seiten Polynome sind, z. B. die quadratische Gleichung und die biquadratische Gleichung. Bei den transzendenten Gleichungen unterscheidet man Exponentialgleichungen, bei denen die Variable im Exponenten auftritt (z. B. e^-x = x, 4^2x = 16), logarithmische Gleichungen mit der Variablen im Argument eines Logarithmus (z. B. 6 — 2 lg x = lg 12, ln x + x = 0) und goniometrische Gleichungen; bei diesen steht die Variable im Argument einer trigonometrischen Funktion (z. B. sin 2x + sin x = 0, x —²/₃ = sin x). Es können jedoch auch transzendente Gleichungen auftreten, die anderen Typen angehören (z. B. e^-x = sin x, cosh x = 2 + sin x).

 

Um die Lösungen einer Gleichung zu bestimmen, sind meist Umformungen notwendig: Äquivalente Umformungen lassen die Lösungsmenge unverändert. Hierzu zählen Addition und Subtraktion von Termen sowie Multiplikation und Division von Zahlen ungleich null. Zu den Rechenoperationen, die die Lösungsmenge einer Gleichung verändern können (nichtäquivalente Umformungen), gehören das Quadrieren und das Wurzelziehen. Beim Quadrieren können zusätzliche Lösungen entstehen, beim Wurzelziehen Lösungen entfallen.