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Differenzialgleichung,

 

Gleichung, in der neben einer Funktion auch ihre Differenzialquotienten oder Ableitungen (Differenzialrechnung) auftreten. Unter einer Lösung einer Differenzialgleichung versteht man eine Funktion, die, zusammen mit ihren Ableitungen, der Differenzialgleichung für alle Werte der Variablen genügt. Die Lösungen einer Differenzialgleichung bezeichnet man auch als ihre Integrale, weil man sie bei den besonders einfachen Differenzialgleichungen der Art dx / dt = f (t) durch einfaches Integrieren der Funktion f (t) gewinnt (Integralrechnung). Die Lösungen sind nicht eindeutig bestimmt, sondern hängen noch von Integrationskonstanten ab; bei der Anwendung der Differenzialgleichung zur Beschreibung physikalischer Vorgänge werden sie durch die Anfangsbedingungen und Randbedingungen des physikalischen Problems zusätzlich festgelegt. Man unterscheidet gewöhnliche Differenzialgleichungen und partielle Differenzialgleichungen, je nachdem, ob nur Ableitungen einer Funktion einer Variablen oder partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen auftreten; die Ordnung der Differenzialgleichung ist die höchste auftretende Ableitungsordnung der gesuchten Funktion. Beispiele:

 

1) Die Differenzialgleichung y = y' ist eine gewöhnliche Differenzialgleichung 1. Ordnung, sie hat die Lösungen: y = c · e^x (c = Konstante).

 

2) Die gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung y'' + k²y = 0 besitzt die Lösungen y = c₁ · cos kx + c₂ · sin kx. Eine weitere wichtige Differenzialgleichung 2. Ordnung ist die Schwingungsgleichung, mit deren Lösungen sich in der Physik Schwingungsvorgänge beschreiben lassen. Beispiele für partielle Differenzialgleichungen sind: Diffusionsgleichung (Diffusion), Dirac-Gleichung, Schrödinger-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung und Wellengleichung. - Differenzialgleichungen sind v. a. in der Physik von großer Bedeutung.

 

Geschichte:

 

Bei Untersuchungen zur Infinitesimalmathematik traten in der 2. Hälfte des 17. Jahrhunderts gewöhnliche Differenzialgleichungen auf, deren Studium G. W. Leibniz sowie Johann und Jakob Bernoulli zu den Anfängen einer Theorie führten. Die weiteren Arbeiten im 18. Jahrhundert, teils durch Probleme der Anwendungen angeregt, sind mit den Namen J. F. Riccati, L. Euler, D. Bernoulli, A. C. Clairaut, J. Le Rond d'Alembert, J. L. de Lagrange und P. S. de Laplace verknüpft. Untersuchungen von Differenzialgleichungen führten Euler zu neuen Funktionen, z. B. zur hypergeometrischen Funktion, zur Beta- und Gammafunktion. Partielle Differenzialgleichungen wurden erst 1734 von Euler eingeführt und ab 1747 systematisch studiert. Erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts konnte die Struktur ihrer Lösungen mit der klaren Definition des Begriffs der Funktion und der Fourier-Reihe vollständig aufgeklärt werden.

 

Literatur:

 

L. Collatz: Differentialgleichungen (⁷1990).