действительного случайного процесса 
- функция аргументов t,
. определяемая равенством 
Для того чтобы К. ф. была определена, следует предположить, что процесс X(t).при всех 
имеет конечный второй момент 
Параметр tпробегает здесь некоторое подмножество Тдействительной прямой и обычно интерпретируется как "время", однако совершенно аналогично определяется К. ф. случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности К. ф. случайного поля, когда Т - подмножество конечномерного пространства. Если 
- многомерный случайный процесс (случайная функция), то его К. ф. наз. матричнозначная функция
- взаимная корреляционная функция процессов Xi(t), Xj(t).
К. ф. является важной характеристикой случайного процесса. Если X(t) - гауссовский процесс, то его К. ф. В(t, s).и среднее значение 
(т. е. первые и вторые моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Напр., одинаковую К. ф. 
имеют гауссовский марковский стационарный процесс, траектории к-рого непрерывны, и так наз. телеграфный сигнал - точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения ±1. Однако К. ф. определяет ряд важных свойств процесса - так наз. свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в ее статистич. приложениях (см. Коррелограмма).
Скорость и характер убывания корреляций при 
дают представление об эргодических свойствах процесса. Условия на скорость убывания корреляций в той или иной форме присутствуют в предельных теоремах для случайных процессов. Локальные свойства 2-го порядка, такие как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, дают полезную, хотя и весьма грубую характеристику локального поведения процесса. Исследование свойств траекторий в терминах К. ф. с большой полнотой проведено в гауссовском случае (см. Выборочная функция). Одним из наиболее завершенных разделов теории случайных процессов является теория линейной экстраполяции и фильтрации, позволяющая находить оптимальные линейные алгоритмы прогноза и аппроксимации случайных процессов, основываясь на знании К. ф.
Характеристическим свойством К. ф. является положительная определенность:
для любого п, любых комплексных с 1, ..., с n и любых 
В наиболее важном случае стационарного в широком смысле процесса В(t, s).зависит от разности аргументов: B(t, s)=R(t-s). Условие положительной определенности принимает тогда вид
Если R(t).дополнительно непрерывна при t= 0 (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса X(t)), то
где 
- положительная конечная мера; здесь l пробегает всю действительную прямую, если Т=
(случай "непрерывного времени"), или отрезок 
если Т= {. . . ,- 1, 0, 1, . . .} (случай "дискретного времени"). Мера 
наз. спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; напр., скорость убывания корреляций при 
соответствует степени гладкости спектральной плотности 
и т. п.
В статистической механике К. ф. наз. также совместная плотность вероятности r(x1, ..., х т).нахождения тразличных частиц рассматриваемой системы в точках x1,..., х т;совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное случайное поле.
Лит.:[1] Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [2] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, М., 1965. А. С. Холево.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.