Akademik

при ладанных условиях на концах

Если есть решение задачи (1), (2), то 1-я вариация функционала должна быть равна нулю, и отсюда следуют необходимые условия 1-го порядка, а 2-я вариация

должна быть больше или равна нулю при любой кусочно гладкой функции удовлетворяющей нулевым граничным условиям

Уравнение Эйлера для функционала

наз. уравнением Якоби. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка относительно неизвестной функции
Все коэффициенты в (5) при и вычисляются при значениях соответствующих известному оптимальному решению x(t)и, следовательно, все они являются известными функциями, зависящими от аргумента t.

Функция удовлетворяет уравнению Якоби при граничных условиях (4), то есть является экстремалью функционала С другой стороны, для 2-я вариация и так как для оптимального решения x(t)2-явариация неотрицательна при любых то функция доставляет минимум функционалу Если выполнено условие Лежандра то есть x(t)является неособенной экстремалью, то при начальных условиях решение уравнения Якоби тождественно равно нулю.
Точка t=с наз. сопряженной с точкой t=a, если существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при 2=а и t=с и не равное тождественно нулю между а и с. Согласно необходимому Я. у., если неособенная экстремаль x(t), доставляет минимум функционалу (1), то интервал (t₁, t₂) не содержит точек, сопряженных с t₁.
Практич. смысл Я. у. может быть пояснен следующим образом. Пусть Я. у. не выполняется, т. е. существует точка а, t₁<а<t₂, сопряженная с t₁. Тогда можно было бы построить непрерывную функцию

являющуюся решением уравнения (5), для к-рой Таким образом, является ломаной экстремалью функционала с угловой точкой при t=a. По согласно необходимому условию Вейерштрасса - Эрдмана (см. Эйлера уравнение), требующему непрерывности выражений и в угловой точке, при t=a должно выполняться равенство что вместе с дает а это противоречит предположению .
Для непосредственной проверки Я. у. следует рассматривать решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям

Пусть - это решение. Для того, чтобы точка t=a, была сопряжена с t₁, необходимо и достаточно, чтобы функция обратилась в нуль при t=a. Таким образом, выполнение Я. у. эквивалентно условию необращения в нуль решения уравнения Якоби на интервале (t₁, t₂).
В более общем случае, когда рассматривается вариационная задача на условный минимум (задача в форме Лагранжа, Майера или Больца), формулировка Я. у. имеет нек-рые особенности. Возникающая здесь задача на минимум 2-й вариации функционала формулируется как задача на условный экстремум (в форме задачи Больца). Эта задача наз. присоединенной задачей, а ее экстремали - присоединенными экстремалями. Дифференциальные условия связи и граничные условия в присоединенной задаче на минимум 2-й вариации получаются в результате варьирования соответствующих условий исходной вариационной задачи. Определение сопряженной точки остается по форме таким же. Для неотрицательности 2-й вариации функционала на классе присоединенных экстремалей, удовлетворяющих присоединенным условиям для концов, должно выполняться Я. у., требующее, чтобы интервал (t_l, t₂ )не содержал точек, сопряженных с t₁.
Я. у. установлено К. Якоби (С. Jacobi, 1837).

Лит.:[1] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. о англ., М., 1950; [2] Лаврентьев М. А., Люстерникc Л . А.,Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950.
И. Б. Вапнярский.