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AXIOMATIQUE

La méthode axiomatique est un mode d’exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l’article LOGIQUE MATHÉMATIQUE pour les problèmes posés par l’étude des systèmes d’axiomes.

L’axiomatique commence par un inventaire exhaustif de toutes les propositions que l’on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions; ces propositions, appelées axiomes , ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l’on se propose d’édifier. Parmi les axiomes d’une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique ) qui sont communes à toutes les sciences déductives. À partir de ces données, on s’astreint à démontrer les autres résultats, ou théorèmes , de la théorie considérée, en proscrivant toute affirmation non issue des axiomes; en particulier, tout recours à l’expérience sensible ou au sentiment subjectif est à rejeter.

Les mots, signes ou termes qui interviennent dans la rédaction des axiomes sont dépouillés de la signification qu’ils peuvent avoir dans le langage courant; ainsi D. Hilbert pouvait affirmer, dans une boutade célèbre : «Au lieu des mots: points, droites, plan, en géométrie, on doit pouvoir dire sans inconvénient : tables, chaises, verre de bière!» De même, la réalité métaphysique des objets mathématiques n’est pas prise en considération; seules comptent les relations explicitement précisées par les axiomes entre les signes représentant ces objets, eux-mêmes explicitement précisés par les axiomes.

1. Origines de l’axiomatique mathématique

L’axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d’un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d’Euclide constituent, à cette époque (III^e s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L’exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer.

Ainsi, dès la première démonstration des Éléments , Euclide, traçant deux circonférences de rayon AB et de centres respectifs A et B, parle de leurs points d’intersection; il affirme ainsi implicitement que ces deux circonférences se coupent, ce qui ne résulte nullement des axiomes énoncés initialement.

Il n’en est que plus remarquable qu’Euclide ait vu clairement l’importance du postulat, qui porte son nom, sur l’unicité de la parallèle; dans ce cas, il adopte une attitude réellement axiomatique, en se gardant soigneusement d’invoquer l’expérience sensible.

L’œuvre d’Euclide a profondément influencé ses continuateurs. Archimède, par exemple, s’astreint à présenter les lois de l’équilibre du levier sous forme axiomatique; dans le domaine des mathématiques, il dégage l’importance de l’axiome, dit d’Archimède, qui est à la base de la théorie de la mesure des longueurs : «Si deux segments sont donnés, il y a toujours un multiple du plus petit qui dépasse le plus grand.» En fait, cet axiome était déjà implicitement contenu dans la quatrième définition du cinquième livre des Éléments d’Euclide.

Malgré ces préoccupations des mathématiciens grecs, il faut attendre la fin du XIX^e siècle pour que l’étude et l’édification des géométries non euclidiennes dégage le caractère abstrait, et dans une certaine mesure arbitraire, de l’axiomatique et montre la relativité de la notion de vérité en mathématiques.

On doit à G. Peano (1858-1932) et à R. Dedekind (1831-1916) un exposé axiomatique de la théorie des nombres entiers; désirant caractériser axiomatiquement l’ensemble N des nombres entiers strictement positifs, Peano prend comme concept primitif la fonction S qui, à tout entier, associe son successeur (ainsi S(n ) = n + 1). Cette axiomatique choisit quatre signes de base N, S, 1 et =, satisfaisant aux propriétés suivantes (nous énonçons ici les cinq axiomes dans le langage mathématique employé de nos jours; la formulation originale était exprimée en symboles logiques):

1. N est un ensemble;

2. 1 appartient à N;

3. S est une application injective de N dans N;

4. 1 n’est le successeur d’aucun nombre;

5. Tout sous-ensemble A de N qui contient 1 et qui contient son image S(A) par S est égal à N tout entier.

L’axiome 5 joue un rôle fondamental : c’est lui qui légitime le raisonnement par récurrence. À partir des cinq axiomes précédents, on définit les opérations de l’arithmétique; ainsi les signes +, 憐, 麗 ne sont pas des signes de base de la théorie; des relations telles que a + b = b + a , ou a + b 閭 a sont des théorèmes de l’axiomatique de Peano et se démontrent à partir des axiomes.

Le premier, D. Hilbert est parvenu à formuler un exposé axiomatique de la géométrie élémentaire, dans son ouvrage Grundlagen der Geometrie (1899). Il énonce une trentaine d’axiomes qui précisent le mode d’emploi des mots «point», «plan», «droite», «appartenance», «entre», «égalité», etc. Ces axiomes se divisent en cinq groupes:

– Les axiomes d’incidence expriment les relations d’appartenance et d’inclusion entre points, droites et plans; par exemple : «Par deux points distincts passe une droite et une seule».

– Les axiomes de disposition précisent l’emploi et les propriétés du mot «entre»; par exemple: «Si C est entre A et B, alors B n’est pas entre A et C»; l’axiome de Pasch affirme que «si une droite coupe le côté AB d’un triangle ABC et ne passe pas par C, alors elle coupe nécessairement le côté AC ou le côté BC» (le côté AB est ici, par définition, l’ensemble des points qui sont situés entre A et B).

– Les axiomes d’égalité expriment les propriétés de l’égalité géométrique, sans recours à l’intuition sensible du déplacement des objets matériels indéformables.

– Le postulat d’Euclide constitue le quatrième groupe.

– Deux axiomes de continuité précisent enfin les conditions de passage à la limite dans l’espace et de mesure des grandeurs (axiome d’Archimède).

Dans le système de Hilbert, l’inégalité du triangle AB + BC 閭 AC ou une proposition comme: «Le segment de droite est le plus court chemin entre deux points» sont des théorèmes et non pas des axiomes.

2. Axiomatiques ouvertes

Ces deux exemples relatifs, le premier, à l’arithmétique, le second, à la géométrie élémentaire, concernent des axiomatiques fermées , qui représentent sous une forme strictement déductive des sciences édifiées depuis longtemps. Ce sont des systèmes d’axiomes, inspirés par un modèle unique (par exemple, l’espace euclidien à trois dimensions) et qui ne s’appliquent en définitive qu’à ce seul modèle.

La mathématique contemporaine s’intéresse davantage aux axiomatiques ouvertes édifiées dans un souci d’unification et de fécondité. Ainsi, le point de départ de la théorie axiomatique des espaces vectoriels (cf. algèbre LINÉAIRE) est l’analogie que l’on constate entre divers énoncés tels que: «La projection de la résultante de deux forces est la résultante de leurs projections», ou «La dérivée de la somme de deux fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions». Pour pouvoir traiter les forces, les fonctions, les vitesses, etc., de la même manière et les englober dans une théorie unificatrice, G. Peano a formulé en 1888 les axiomes des espaces vectoriels. Il apparut alors que ces axiomes s’appliquaient à bien d’autres situations et ce fait a mis en évidence de nouvelles analogies, plus cachées, entre des théories d’apparences très différentes. En outre, l’algèbre linéaire est un algorithme qui invite à engendrer de nouveaux objets mathématiques à propos desquels on peut se poser de nouveaux problèmes. De plus, l’élargissement du champ d’application de la théorie a provoqué un élargissement de l’axiomatique, suscitant par exemple le passage des espaces vectoriels (sur un corps) aux modules (définis sur un anneau). Cela montre la fécondité d’une axiomatique ouverte.

Un exemple encore plus spectaculaire d’axiomatique ouverte est constitué par l’algèbre homologique, axiomatisée grâce aux efforts de J. Leray, H. Cartan, S. Eilenberg et d’autres, entre 1940 et 1950. Destinée primitivement à rendre compte de l’aspect algébrique de la topologie combinatoire (dont les bases avaient été jetées par H. Poincaré, cf. TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE), l’algèbre homologique a rapidement trouvé des applications dans l’étude des groupes de Lie, des groupes finis, des fonctions de plusieurs variables, etc., et cette théorie envahit progressivement tous les domaines des mathématiques pures.

3. Axiomatisation des phénomènes physiques

On remarquera qu’il y a un lien essentiel entre axiomatisation et formalisation. Ce lien nous éclaire sur la nature profonde de la science qui d’une certaine manière tourne le dos à l’empirique pour constituer des systèmes cohérents de concepts et de relations. La coupure épistémologique ^{[cf. BACHELARD (G.)]} entre le pur empirisme et la science passe toujours par l’invention d’un «jeu» formel.

L’utilité de la méthode axiomatique est d’abord de fournir un cadre adapté au traitement mathématique de nombreuses situations. Ainsi, lorsque A. Kolmogorov a formalisé, en 1933, les fondements du calcul des probabilités, il a permis à cette science de se dégager des notions vagues et subjectives de hasard et de chance; l’étude des probabilités, restée longtemps stagnante, a pris ainsi un nouvel essor, devenant une partie très vivante des mathématiques.

Le champ d’application de la méthode axiomatique ne se limite pas, on vient de le voir, aux mathématiques pures. De manière générale, l’axiomatisation d’une théorie physique comporte deux étapes. D’une part, on élabore une théorie mathématique portant sur des symboles abstraits, et, d’autre part, divers «axiomes de correspondance» précisent comment les phénomènes observables se traduisent au moyen de signes. Dans l’exemple, très simple, de l’optique géométrique, la théorie mathématique utilisée est la géométrie élémentaire; des axiomes de correspondance indiquent dans quels cas certains phénomènes lumineux doivent être symbolisés par des rayons (c’est-à-dire des droites orientées), des miroirs par des surfaces, etc.; de plus, on décrit les constructions géométriques qui symbolisent, par exemple, les phénomènes de réflexion ou de réfraction. Dans la théorie cinétique des gaz, la théorie mathématique utilisée est relative au comportement statistique d’un grand nombre de «molécules»; les axiomes de correspondance indiquent qu’un gaz, phénomène observable, doit être symbolisé par un grand nombre de molécules en mouvement, que la température se traduit par la vitesse quadratique moyenne, la pression par la moyenne de l’impulsion (choc) sur les parois...

Dès qu’un phénomène physique est «mis en équation» grâce aux axiomes de correspondance, son étude se poursuit ensuite par voie purement déductive, sans recours nouveau à l’expérimentation. La confrontation a posteriori des résultats démontrés, c’est-à-dire obtenus comme des théorèmes, et de leur interprétation observable n’a pour but que de juger si le choix des axiomes de correspondance est satisfaisant.

Les phénomènes physiques ne sont cependant pas le seul domaine où s’applique la méthode axiomatique, puisqu’au contraire son champ d’application s’étend peu à peu à toutes les branches scientifiques.

• 1547; gr. axiomatikos, de axiôma→ axiome

1 ♦ Des axiomes; qui a le caractère des axiomes. ⇒ évident, indémontrable.

2 ♦ Qui peut servir de base à un système de déduction; qui procède par déduction. Base axiomatique; méthode axiomatique.

3 ♦ (XX^e) Qui a pour objet des symboles (et non leur contenu). ⇒ formalisé. Méthode axiomatique. Sémantique axiomatique.

4 ♦ N. f. (1921, trad. d'Einstein) Mode d'exposition d'une théorie par déduction logique ou mathématique, à partir d'axiomes (3^o) énoncés, exempts de contradictions et indépendants les uns des autres. Axiomatique formalisée.

adj. et n. f. Didac.

d1./d Qui tient de l'axiome. Vérité axiomatique.

d2./d MATH, LOG Qui raisonne à partir d'axiomes contenant des symboles. Syn. formel, formalisé.

|| n. f. Ensemble des axiomes d'une science, branche de la logique qui recherche et organise en système de tels ensembles.

⇒AXIOMATIQUE, adj. et subst. fém.

1. Au sens large; dans la lang. abstr., littér. ou sc. Qui a l'autorité, le caractère évident et absolu d'un axiome. Cf. axiome I A 1 et II. Synon. non démontrable.

a) [En parlant d'une conception, d'une proposition] :

• 1. La raison ajoute des conceptions imaginaires à ses conceptions naturelles, et leur donne la même autorité axiomatique.

T. JOUFFROY, Nouv. mélanges philos., 1842, p. 36.

b) Lang. cultivée. [En parlant d'une parole, d'un style, d'un ton] Dont l'expression est péremptoire ou proverbiale. Une parole, une phrase axiomatique :

• 2. Saint-Just donne l'exemple; son ton même est définitif. Cette cascade d'affirmations péremptoires, ce style axiomatique et sentencieux, le peignent mieux que les portraits les plus fidèles. Les sentences ronronnent, comme la sagesse même de la nation, les définitions, qui font la science, se succèdent comme des commandements froids et clairs. (...). C'est le style guillotine.

CAMUS, L'Homme révolté, 1951, p. 159.

Rem. Attesté ds la plupart des dict. gén. du XIX^e s. et du XX^e s. à partir de BESCH. 1845. Ne figure pas dans l'Ac.

2. Lang. sc. et plus partic. dans le domaine des sc. déductives (essentiellement Log. et Math. mod.). Qui se fonde sur un ensemble d'axiomes (cf. axiome I A 1 et 2).

a) [L'accent est mis sur la phase abstractive de recherche et d'organisation des axiomes] Analyse, méthode axiomatiques :

• 3. Vers la fin du XIX^e siècle, les conceptions essentielles de Cantor avaient donc gain de cause. Nous avons vu que, vers cette même époque, la formalisation des mathématiques s'achève et que l'emploi de la méthode axiomatique est à peu près universellement admis.

BOURBAKI, Éléments d'hist. des math., 1960, p. 46.

b) [L'accent est mis sur l'aboutissement de cette méthode] Construction, système, théorie axiomatique; le système axiomatique des mathématiques exposé par Bourbaki :

• 4. Un système axiomatique — on dit aussi : une théorie axiomatisée ou, plus brièvement, une axiomatique — est donc la forme achevée que prend, aujourd'hui, une théorie déductive.

R. BLANCHÉ, L'Axiomatique, Paris, P.U.F., 1959, p. 3.

1. Au sens large, dans le lang. sc. en gén. Méthode ayant pour objet de rassembler et de « structurer » les axiomes et les principes de base d'une science. Synon. abstraction, généralisation, schématisation :

• 5. Dans le symbolisme que nous avons décrit précédemment et avec l'aide de machines à calculer arithmétiques, les trois problèmes de la déduction, de la démonstration et de l'axiomatique trouvent aisément une solution complète.

L. COUFFIGNAL, Les Machines à penser, 1964, p. 114.

Rem. 1. Largement attesté ds les dict. du XX^e s. à partir de Lar. encyclop. 2. L'axiomatique comme méthode peut être caractérisée selon son point d'application ou son niveau de progression. Cf. les syntagmes attestés chez Bachelard, Bourbaki, Gonseth, chez les différents historiens de la log. et les lexicographes ROB. Suppl. 1970 et Lar. encyclop. Suppl. 1968 : axiomatique d'une structure; axiomatique abstraite, formelle, intuitive.

a) LOG. et MATH. L'aboutissement de la méthode. Synon. système axiomatique. Une axiomatique (cf. supra ex. 4).

b) LOG. SYMBOLIQUE et LING. Axiomatique formalisée. Ensemble de signes ou formes symboliques, c'est-à-dire indépendantes de tout contenu sensible ou significatif. Anton. axiomatique intuitive :

• 6. La formalisation suppose la symbolisation. Une axiomatique formalisée se présente comme un ensemble de signes, les uns propres à la théorie, les autres antérieurs, assorti d'un énoncé des règles qu'on appliquera dans le maniement de ces signes.

R. BLANCHÉ, L'Axiomatique, Paris, P.U.F., 1959, p. 53.

• 7. Les auteurs de ce LDI se réclament d'une approche « logico-linguistique », à juste titre; mais leur LDI est plus qu'un système logico-linguistique, c'est aussi un système fondé sur une axiomatique de logique mathématique. En effet, « la grammaire de base servant de cadre pour les ensembles de documents indexés est en relation avec les concepts du calcul fonctionnel en logique symbolique, et emploie sa distinction entre fonctions et arguments ».

M. COYAUD, Introd. à l'ét. des lang. documentaires, 1966, p. 65.

Rem. On rencontre dans la docum. plusieurs emplois de l'adv. axiomatiquement « suivant la méthode axiomatique ». Théorie axiomatiquement fondée (F. GONSETH, Les Math. et la réalité, Paris, Alcan, 1936, p. 199).

PRONONC. :[].

ÉTYMOL. ET HIST. — 1. a) 1547 adj. « qui a un air d'autorité » (BUDÉ, Instit. du Prince, éd. J. Foucher, ch. 53 ds HUG. : En parolle, en regard auctorisé, que les Grecz appellent axiomatique) hellénisme isolé; b) repris au XIX^e s. 1830 (BALZAC, Sur Catherine de Médicis, Les deux rêves, 14); 2. 1921 subst. « recherche et organisation systématique des axiomes d'une science » (Einstein d'apr. ROB. Suppl. 1970).

1 a empr. au gr. « qui a un air d'autorité » (Plutarque ds BAILLY); b dér. sém. de axiome d'apr. le gr. , -; suff. -ique; 2 formé à partir de 1.

STAT. — Fréq. abs. littér. :3.

BBG. — BACHELARD (G.). Le Rationalisme appl. 2^e éd. Paris, 1962, passim. — BATTRO 1966. — BIROU 1966. — BLANCHÉ (R.). L'Axiomatique. Paris, 1955, 103 p. — DIEUDONNÉ (J.). L'Axiomatique ds les math. mod. In : CONGRÈS INTERNAT. DE PHILOS. DES SC. 1949, t. 2, p. 48 sqq. — FOULQ.-ST-JEAN 1962. — GONSETH (F.). Les Math. mod. et la réalité. Essai sur la méthode axiomatique. Paris, 1936. — LAL. 1968. — MAT. Louis-Philippe 1951, p. 274. — MOR. 1968. — MUCCH. Psychol. 1969. — UV.-CHAPMAN 1956.

axiomatique [aksjɔmatik] adj. et n. f.

ÉTYM. 1547; grec axiomatikos, de axiôma. → Axiome.

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♦ Didactique.

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I Adj.

1 Des axiomes; qui a le caractère des axiomes. ⇒ Évident, indémontrable. || Valeur axiomatique.