Akademik

(КХД) - квантовая теория сильного взаимодействия цветных глюонных и кварковых полей. Построена на основе принципа локальной калибровочной инвариантности относительно преобразований в трёхцветном комплексном пространстве внутренних симметрии. По совр. представлениям, КХД составляет основу описания сильного взаимодействия между адронами и ответственна за силы, связывающие кварки в адроны. КХД возникла в нач. 70-х гг. в результате синтеза представления о цвете кварков, партонной картины глубоко неупругого взаимодействия (см. Партоны )и аппарата неабелевых калибровочных полей. Кварковая модель, согласно к-рой все адроны являются связанными состояниями либо пары кварк-антикварк (мезоны), либо трёх кварков (барионы), хорошо объясняла систематику адронов, т. е. их группировку по свойствам в унитарные и изотопич. мультиплеты, расщепление по массам внутри этих мультиплетов, а также нек-рые статич. свойства адронов (напр., отношения величин магн. моментов). Важным составным элементом этой картины было либо предположение о парастатистике, либо о существовании дополнит. характеристики кварков - цвета, введение к-рого диктовалось необходимостью утроения числа кварков каждого типа (аромата) для того, чтобы, не входя в противоречие с принципом Паули, можно было построить нек-рые барионы (напр., D^{+ +} , состоящий из трёх u -кварков с одинаковым направлением спина). При этом необходимо накладывать дополнит. условие "бесцветности" реально наблюдаемых адронов. Отсутствие в природе дикварковых мезонов, а также величины вероятности распада p⁰ "2gи сечения аннигиляции е ⁺ е ^- в адроны однозначно указывали на симметрию относительно преобразований в цветовом пространстве, соответствующую группе SU(3)[эта группа часто маркируется ниж. индексом "c" - от англ. colour - цвет, SU(3)_c]. Представление о партонах возникло из обнаруженного экспериментально различия в поведении структурных функций глубоко неупругих процессов и формфакторов упругого рассеяния лептонов на адронах, к-рые оказалось возможным совместить только на основе предположения о существовании точечных (слабо взаимодействующих) составляющих адронов - партонов. Дальнейшее эксперим. изучение жёстких процессов, в к-рых исследовалась структура адрона на малых расстояниях, показало, что заряж. партоны тождественны кваркам и антикваркам. Т. о., получалось, что, с одной стороны, на расстоянии порядка радиусаадрона (~10^-13 см) кварки должны достаточно сильно взаимодействовать, чтобы образовывать такие прочные системы, как адроны, а с другой стороны, эффективная константа этого взаимодействия должна ослабевать на расстояниях порядка 0,1 радиуса адрона. Ослабление эфф. константы взаимодействия кварков с уменьшением расстояния было позднее названо асимптотической свободой. Возрастание константы взаимодействия с ростом расстояния давало надежду на объяснение явления "невылетания кварков" (т. н. конфайнмента), проявляющегося в отсутствии свободных кварков (см. Удержание цвета). Напр., интенсивный рост взаимодействия между разлетающимися кварком (q )и антикварком образовавшимися в процессе аннигиляции е ⁺ и е ^- (рис. 1), приводит к рождению из вакуума кварк-антикварковых пар и обесцвечиванию ими как разлетающихся кварка и антикварка, так и друг друга. В результате вместо q и наблюдаются две адронные струи, летящие в системе центра инерции в противоположные стороны.

Рис. 1. Аннигиляция электрон-позитронной пары и две адронные струи в кварковой модели адронов.

Решающим шагом к созданию КХД было установление свойства ослабления взаимодействия с уменьшением расстояния для класса калибровочных квантовых теорий поля (КТП), основанных на неабелевых группах симметрии. К их числу относится и группа SU(3 )преобразований в цветовом пространстве. Основу КХД образуют три цветных состояния кваркового Дирака поля q^a(x )каждого аромата( и, d, s, с, b,...) ( х - точка пространства-времени, a=1, 2, 3 - цветовой индекс), преобразующихся друг через друга при преобразованиях в цветовом пространстве. Квантами полей являются цветные кварки. По своей структуре КХД напоминает квантовую электродинамику (КЭД), но имеет существ. отличия. Аналогично тому, как в КЭД электрич. заряд вследствие калибровочной симметрии порождает эл.-магн. поле, цветные кварки в КХД порождают восемь разновидностей цветовых глюонных полей - векторных калибровочных полей Янга - Миллса (см. Янга - Миллса поля). Поскольку глюонные поля, в отличие от эл.-магнитного, несут цветовой заряд, они сами порождают глюонные поля и взаимодействуют друг с другом. Вследствие этого ур-ния для глюонных полей (в отличие от Максвелла уравнений в вакууме) нелинейны. Квантами глюонного поля являются восемь глюонов (аналоги фотона в КЭД), имеющих нулевую массу покоя и спин 1. При испускании и поглощении глюонов кварки (и глюоны) могут менять свой цвет, но не меняют аромата. Указанные характерные особенности КХД находят эксперим. подтверждения в многочисл. измерениях жёстких процессов, а также в свойствах кваркониев - связанных состояниях тяжёлых кварков с, b, ... со своими антикварками Классическая хромодинамика. Кварковые поля q^a(x )реализуют фундам. представление группы SU(3)_c. Ур-ние движения для кварковых полей, инвариантное относительно калибровочных преобразований, получается (как и в электродинамике) путём замены производной д_m= д/ дx_m (m=0, 1, 2, 3) в Дирака уравнении для свободного поля на т. н. ковариантную производную

D_m=Iд_m + igB_m(x),(1)

где g - константа цветового взаимодействия (используется система единиц h=с=1), В_m( х) - четырёхмерный векторный потенциал глюонного поля в точке х, каждая компонента к-рого представляет собой бесследовую(SpB_m=0) эрмитову матрицу 333 в цветовом пространстве [реализует присоединённое представление группы SU(3)_c], a I - единичная матрица в этом же пространстве. Тензор напряжённости глюонного поля G_mn строится аналогично электродинамике, по с помощью ковариантной производной (1):

(скобки [..., ...]_ означают коммутатор), т. е. он нелинейно выражается через потенциалы. Это приводит к нелинейным ур-ниям для глюонных полей (т. н. Янга - Миллса уравнениям), к-рые можно записать как

(здесь и ниже по дважды встречающемуся индексу предполагается суммирование); наряду с кварковым источником глюонных полей - плотностью кваркового тока j_n ^кв - они содержат плотность глюонного тока j_n ^гл = - ig[B_m, G_mn]_, нелинейно зависящую от глюонных полей, не имеющую аналога в электродинамике (где компоненты эл.-магн. поля - простые, нематричные ф-ции от х и коммутатор обращается в нуль).Интегралы образуют матрицу аддитивного цветового заряда. В квантовой теории цветовыми зарядами, характеризующими состояние кварк-глюонной системы, наз. собств. значения двух взаимно коммутирующих операторов этой матрицы. Их числовые величины определяются константой взаимодействия g. Соответствующая ур-ниям движения (3) плотность ф-ции Лагранжа в хромодинамике имеет вид

где g_m - Дирака матрицы, q_f ={q_f^a} - кварковое поле Дирака аромата f, представляющее собой столбец в цветовом пространстве, a m_f - т. н. токовая масса кварка данного аромата (черта сверху означает дираковское сопряжение).Матрицы В_m, G_mn могут быть разложены по восьми генераторам группы SU(3) в фундам. представлении ¹/₂l^a_ab, напр.

где l^a_ab - Гелл-Мана матрицы333.
Квантование и диаграммы Фейнмана. Последоват. схемы квантования в КХД пока нет. Обычно используемое квантование кварковых и глюонных полей проводится во взаимодействия представлении для свободных полей, и в этом отношении оно формально не отличается от квантования в КЭД. Ясно, однако, что такая операция в КХД незаконна из-за отсутствия свободных кварков и глюонов. Она приводит к неустранимым инфракрасным расходимостям в теории возмущений. Устранение этого дефекта в аппарате теории и разработка непротиворечивой процедуры квантования, по-видимому, тесно связаны с ненайденным пока решением проблемы удержания цвета. Др. особенность квантования КХД - более сложный способ исключения нефизич. продольных полей потенциала В_m при использовании ковариантного условия калибровки д_m В_m=0. В отличие от КЭД, где продольная часть поля h( х)=д_mA_m( х )подчиняется свободному ур-нию движения (т. е. соответствующие ей "h-частицы" не могут рождаться, если их не было в нач. состоянии), ур-ние для h-полей в КХД оказывается нелинейным и глюонное поле В_m может порождать h-частицы. Для устранения их в нач. и конечном состояниях достаточно наложить на глюоны в этихсостояниях условие поперечности: h ^нач=h ^кон=0. Однако это не устраняет h-частицы из вакуумных флуктуации (глюонных петель), что приводит к нарушению условия унитарности. Способ устранения нефизич. полей результативно сводится к введению дополнит. октета фиктивных скалярных полей Ф( х) - т. н. полей Фаддеева - Попова духов, к-рые удовлетворяют тому же ур-нию, что и h-поля, но квантуются по Ферми - Дирака статистике (антикоммутируют). Это приводит к тому, что в соответствии с правилами Фейнмана (см. Фейнмана диаграммы )каждой замкнутой петле духов следует приписывать множитель -1. Т. о., на каждую h-петлю появляется Ф-петля, к-рая её компенсирует. При строгом подходе, т. е. при квантовании функционального интеграла методом, поля духов появляются автоматически как следствие условий калибровки. Существуют, однако, условия калибровки, при к-рых духи Фаддеева - Попова не появляются. К ним относятся, напр., т. н. аксиальные калибровки п_m В_m=0 (или В₀=0)и фоковская калибровка ( х-х _A)_m В_m( х)=0, где п_m - произвольный постоянный 4-вектор, х _A - фиксированная точка пространства-времени. Пропагатор глюона в этих калибровках оказывается релятивистски неинвариантным, т. к. зависит от выбора либо п_m, либо х _А. Однако в окончат. выражениях для физически измеряемых величин эта зависимость пропадает. Наиболее существ. отличие диаграмм Фейнмана теории возмущений в КХД (по сравнению с КЭД) - наличие в них (кроме кварк-глюонной вершины; рис. 2, а )трёхглюонных, четырёхглюонных и дух-глюонных вершин (рис. 2, б, в, г).Правила Фейнмана позволяют вычислять любые процессы с участием кварков и глюонов. Однако, как и в КЭД, интегралы по импульсам виртуальных частиц оказываются бесконечными, расходящимися при больших или малых импульсах (ультрафиолетовые расходимости и ИК-расходимости).

Рис. 2. Вершины диаграмм Фейнмана в КХД. Сплошные линии изображают кварки, спиральные - глюоны, пунктирные - духи Фаддеева - Попова; g - константа взаимодействия.

ИК-расходимости фактически обходят тем, что при расчётах процессов с участием адронов всегда рассматривают кварк-глюонные (партонные) подпроцессы (см. ниже), происходящие на малых расстояниях (меньших размера адронов), т. е. к.-л. образом регуляризованные (напр., обрезанные) в области малых импульсов (см. Регуляризация расходимостей).Зависимость же сечений подпроцесса от параметра ИК-регуляризации выделяется в виде сомножителей и включается в волновые ф-ции адронов, рассматриваемые как феноменологии, (невычислимые) элементы схемы (свойство факторизации; см. ниже).Для борьбы с УФ-расходимостями применяются стандартные способы регуляризации и перенормировки в КТП (чаще всего т. н. размерной регуляризации, сохраняющей калибровочную симметрию). Напр., все УФ-расходимости в глюонном пропагаторе типа рис. 3 собираются в константу ренормировки глюонных полей. Точно так же расходимости в пропагаторах кварков и духов собираются в добавку к массе кварка (массы глюона и духа вследствие калибровочной инвариантности не перенормируются) и в константы ренормировки кваркового и духового полей, а расходимости вершинных частей кварк-глюонной, трёх- и четырёхглюонной и дух-глюонной - в константы ренормировки заряда. Др. УФ-расходимостей КХД не содержит. Для матричных элементов матрицы рассеяния все эти бесконечные множители собираются после перенормировки векторов состояний кварка и глюона в эфф. (токовую) массу кварка т _f(m²) и эфф. константу взаимодействия g²(m²), где m² - нек-рый параметр размерности квадрата импульса, появившийся в результате регуляризации и перенормировки (напр., квадрат 4-импульса точки вычитания).

Характерной чертой перенормировочной процедуры в КХД является зависимость токовой массы кварков от m². Она связана с отсутствием выделенной точки вычитания для пропагаторов из-за предполагаемой ненаблюдаемости кварков как свободных частиц (т. е. с отсутствием полюсов у полной ф-ции Грина кварков).
Ренормализационная группа и асимптотическая свобода. Особую роль в КДХ играет ренормализационная группа (ренормгруппа) ввиду того, что константа взаимодействия g²(m²) оказывается не очень малой (см. ниже), а члены [g²(m²) ln (q²/m²)]ⁿ (где q²- квадрат характерной передачи 4-импульса), возникающие при вычислениях по теории возмущений,- достаточно большими и требующими суммирования, к-рое удобно выполнять с помощью аппарата ренормгруппы. Инвариантный заряд ренормгруппы к-рый не зависит от выбора параметра нормировки m², определяет эфф. константу взаимодействия при квадрате переданного 4-импульса q²=-Q², или на расстоянии порядка 1/Q(при определении инвариантного заряда можно исходить из любой вершинной части, соответствующей вершинам рис. 2). Его поведение целиком задаётся видом бета-функции ур-ний ренормгруппы и граничным условием

Рис. 4. Диаграммы радиационных поправок к трёхглюонной вершине (рис. 2, б).

В низшем порядке по теории возмущений b-функция (при использовании, напр., определения инвариантного заряда через трёхглюонную вершину) выражается через коэффициенты при -lnm² вкладов диаграмм рис. 3, 4. При этом вклад первой из диаграмм рис. 3 положителен и пропорц. числу ароматов кварков n_f (сейчас их открыто 5), а вклады каждой из остальных пропорц. числу цветов п _с(=3) и в сумме имеют отрицат. знак. Точные вычисления дают для b-функции

а для эфф. константы взаимодействия - эффективного зарядаa_s

т. е., в отличие от КЭД, эфф. заряд уменьшается с ростом Q² (если число ароматов n_f<17). Это уменьшение эфф. взаимодействия с уменьшением расстояния (ростом Q²) - наиб. характерная черта КХД. Эфф. цветовой заряд цветного объекта (в отличие от эфф. электрич. заряда) по мере приближения к нему стремится к нулю, т. е. объект становится асимптотически свободным (невзаимодействующим). Это явление антиэкранировки заряда из-за поляризации вакуума в неабелевых калибровочных теориях поля было обнаружено в 1973 Д. Политцером (D. Politzer), а также Д. Гроссом (D. Gross) и Ф. Вильчеком (F. Wilczek) и является важнейшим свойством КХД. Оно позволяет использовать для анализа процессов с участием адронов аппарат теории возмущений с тем большей уверенностью, чем больше происходящие в них передачи импульсов, и тем самым рассчитывать характеристики адронных процессов, связанные с взаимодействием кварков и глюонов на малых расстояниях. Напр., при уменьшении расстояния от 10^-13 см до 10^-14 см эфф. константа падает почти на порядок. Заметим, что последнее выражение в (6) представляет собой явно ренорм-инвариантное, т. е. не зависящее от точки нормировки, выражение для эфф. заряда через фундам. постоянную L, имеющую размерность импульса. Здесь проявилась ещё одна особенность КХД - появление фундам. размерной постоянной в теории с безразмерной константой взаимодействия. Это явление было названо размерной трансмутацией. Оно связано с тем, что в КХД из-за удержания цвета невозможно создать статич. глюонные поля и поэтому нельзя поставить опыт Милликена (по определению отношения заряда к массе). По этой же причине в КХД неверны низкоэнергетические теоремы. Числовое значение L в разл. схемах регуляризации будет разным; в наиб. распространённой схеме т. н. усечённой размерной регуляризации её эксперим. величина равна: L=160(100) МэВ. С уменьшением Q² эфф. заряд растёт и при Q²=L² формально становится бесконечным. Однако гораздо раньше (при Q[10L) оказывается некорректным однопетлевое приближение для ф-ции b на основе к-рого было получено выражение (6). Двухпетлевое приближение позволяет продвинуться (с погрешностью ~ 10 %) до Q~(3-5)L (т. е. до Q~1 ГэВ). Немного ниже удаётся продвинуться с помощью трёхпетлевого приближения, но в этой области a_s становится порядка 1 и разложение для b, к-рое является асимптотич. рядом (см. Асимптотическое разложение), перестаёт быть эффективным. Как отмечалось, широко распространена надежда связать рост эфф. заряда при увеличении расстояния с явлением удержания цвета, препятствующим выбиванию кварков и глюонов из адрона, однако какое-либо строгое доказательство этого положения пока отсутствует. При получении выражения (6) предполагалось также, что передача импульса Qмного больше удвоенной массы кварков всех ароматов. Более точные расчёты показывают, что в области, где Qмного больше удвоенной массы лёгких кварков, но много меньше удвоенной массы тяжёлых (т. е. 1 ГэВ ²[Q²<<10 ГэВ ²), вклады последних несущественны и n_f следует считать равным 3. Однако с ростом Q² после перехода через порог возбуждения пары очарованных кварка-антикварка (Q²>10 ГэВ ²) n_f становится равным 4, а затем (Q²>100 ГэВ ²) и 5. Это приводит не только к увеличению эфф. заряда a_s, но и к нек-рому замедлению его спадения с ростом Q². КХД и адронные процессы. Естеств. областью применения теории возмущений КХД по эфф. заряду являются жёсткие процессы с участием адронов, т. е. высокоэнергетич. процессы с большими передачами имлульса. Основу такого применения составляют кварк-адронная дуальность и ренормализац. инвариантность амплитуд и сечений физ. процессов. Гипотеза кварк-адронной дуальности состоит в том, что любое бесцветное состояние с данными квантовыми числами можно представить либо как суперпозициюадронных состояний, либо как суперпозицию кварк-глюонных состояний с теми же квантовыми числами. Эта гипотеза присутствует во всех приложениях КХД. Напр., полное сечение аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны, s (е ⁺ е ^- " адроны), зависит только от одной импульсной переменной - квадрата полной энергии пары Q² в системе центра масс. Гипотеза о кварк-адронной дуальности позволяет приравнять его к сечению процесса е ⁺ е ^- " кварки + глюоны, а оптическая теорема - выразить его через мнимую часть полной ф-ции Грина фотона (рис. 5; волнистые линии изображают фотоны).

Рис. 5. Связь сечения аннигиляции е ⁺ е ^- с полной функцией Грина фотона.

Обычно это сечение записывают в видеs (е ⁺ е ^- " адроны) = s₀R [Q²/m², a_s(m²)],где s₀=4pa²/3Q² - сечение аннигиляции пары е ⁺ е ^- в пару m⁺m^-, рассчитываемое по КЭД, a= е²/4p~ ¹/₁₃₇( е - элементарный электрич. заряд), а R - нек-рая безразмерная ф-ция. Согласно ренормализац. инвариантности, эта ф-ция, как и сечение, не зависит от выбора нормировки m². Положив m²=Q², получим

R(Q²/m², a_s(m²)) = R(1, a_s(Q²)), (7)

где при достаточно больших Q² благодаря свойству асимптотич. свободы можно пользоваться теорией возмущений по a_s. Вычисления в двухпетлевом приближении (рис. 6) дают

где суммирование производится по всем цветам и ароматам квадратов зарядов кварков (e_q - заряд кварка в единицах е),а a_s(Q² )определяется ф-лой (6). Т. о., отношение R должно логарифмически приближаться к своему партонному пределу (т. е. к сумме квадратов зарядов всех кварков всех цветов). Изменение R с Q² оказывается, однако, настолько медленным [1-2% при Q²~(100-1000) ГэВ ²], что обнаружить его при достигнутой точности эксперим. данных практически невозможно.

В выражении (8) отброшены не только поправки с более высокими степенями a_s(Q²),но и степенные поправки типа (1/Q²)ⁿ. Они возникают в тех случаях, когда большой импульс Qраспределяется не по всем виртуальным линиям фейнмановских диаграмм равномерно (и виртуальность каждой из них велика), а "обходит" к.-л. из них (на рис. 7 они изображены заштрихованными блоками). Малый квадрат виртуального импульса соответствующей линии не позволяет воспользоваться теорией возмущений для вычисления её пропагатора. Вклады таких диаграмм оказываются пропорц. вакуумным средним значениям глюонных и кварковых полей: (где <0| - вектор состояния вакуума), обусловленным глюонным и кварковым конденсатами в вакууме (см. Вакуумный конденсат), к-рые рассматриваютсякак феноменологич. параметры схемы, т. е. подбираются в к.-л. одном эксперименте, а затем используются в других. В принципе они могут быть вычислены методами, не использующими теорию возмущений [напр., методом вычислений на решётке (см. ниже)]. Т. к. эти параметры размерны ([G_mn]=см ^-2, [q]=см ^-3/2), то (для компенсации размерностей) они должны входить в поправочные слагаемые с множителями Q^-4 и Q^-6 (в поправки, как правило, входит квадрат вакуумного конденсата кварковых полей).Используемый обычно метод учёта наиболее существ. части таких поправок в простейшем случае состоит в применении т. н. правил сумм КХД, к-рые утверждают равенство сечений с участием адрона и сечений с участием кварк-глюонных токов с теми же квантовыми числами, усреднённых с нек-рым весом по интервалу квадрата масс 0<Q²<Q²₀, включающему данный адрон (т. н. интервал дуальности). Характерная величина интервала дуальности Q₀ определяется взаимодействием с вакуумным кварковым и глюонным конденсатами и по порядку величины представляет собой характерное расстояние между соседними резонансами с одинаковыми квантовыми числами (спином, чётностью, изотопич. спином и др.). Это даёт возможность выразить через вакуумные ср. массы и ширины низколежащих резонансов [4], напр., протона, r-мезона (см. ниже).Характерным свойством сечения аннигиляции, к-рое позволило непосредственно использовать теорию возмущений, была зависимость лишь от одной большой импульсной переменной Q².В др. высокоэнергетич. процессах, кроме группы больших импульсных переменных Q²₁,. . .,Q²_k >> m²~1 ГэВ ² ( т - масса нуклона), имеется, как правило, и группа малых переменных p²₁,. . ., р²_r~ т² (напр., массы нач. и конечных регистрируемых адронов), к-рые. в отличие от случая аннигиляции, не дают возможности перевести всю зависимость от больших переменных Q² в эфф. заряд a_s(Q²).

Так, структурные ф-ции глубоко неупругого рассеяния лептона l на нуклоне, l+N " l'+Х, кроме зависимости от большого квадрата передачи 4-импульса лептоном q²=-Q², где q- 4-импульс виртуального фотона, и произведения 2pq, связанного с квадратом полной энергии нерегистрируемых адронов X в системе их центра масс (рис. 8), зависят также и от массы нуклона, p²=m² ( р -4-импульс нуклона):F[Q²/2pq,Q²/m², m²/m², a_s(m²)].Поэтому выбор m²=Q² оставляет зависимость от малого отношения m²/Q²,к-рая оказывается сингулярной (т. е. при вычислениях по теории возмущений появляются степени больших логарифмов ln(Q²/m²)).В ряде случаев (в т. ч. для жёстких процессов) эту трудность удаётся преодолеть с помощью операторного разложения (или используя т. н. свойства факторизации), к-рое доказано в любом порядке теории возмущений. Из свойств факторизации следует, что сечение жёсткого процесса асимптотически, приQ² " : (с точностью до поправок 0(1/Q²)), представимо в виде (см., напр., [5], [6])

в к-ром зависимости от больших и малых переменных разделены (здесь Q, р - соответственно совокупности переменных Q_i, р _i, а x_i - доля полного 4-импульса p_i соответствующего адрона). При этом каждому регистрируемому в процессе адрону или струе адронов i отвечает своя ф-ция f_i, к-рая не зависит от вида процесса и имеет смысл либо ф-ции распределения партонов (кварков, антикварков и глюонов) в адроне по долям x_i полного 4-импульса соответствующего адрона (для входящих адронов), либо ф-ции фрагментации партона в выходящие адроны. Они определяются взаимодействием составляющих адрон кварков (антикварков) и глюонов на больших расстояниях, не вычислимы по теории возмущений и составляют феноменологич. элемент схемы. Величина ds _парт представляет собой сечение партонного подпроцесса с 4-импульсами партонов, равными x_ip_i или р _i/x_i соответственно для входящих и выходящих партонов, и большими передачами импульса, т. е. подпроцесса, происходящего на малых расстояниях. Ввиду зависимости сечения подпроцесса только от больших переменных Q²_i и m² (m² также может быть выбрана большой) для его вычисления можно воспользоваться теорией возмущений. Напр., сечение глубоко неупругого рассеяния лептона на нуклоне даётся суммой произведения распределения f_N/a (x) для каждого сорта партонов а в нуклоне по долям импульса x и сечения рассеяния лептона на этом партоне (рис. 9, а).Разложение последнего в ряд по a_s соответствует учёту упругого рассеяния на точечном (заряж.) партоне (рис. 9, б )и последоват. учёту поправок за счёт испускания глюонов (рис. 9, в),неточечности кварка (рис. 9, г),а также рождения кварк-антикварковых пар.

Выражение (9) отличается от соответствующего выражения партонной модели зависимостью ф-ций распределения от параметра m², к-рый одновременно играет роль параметра нормировки и параметра границы между малыми и большими импульсами (большими и малыми расстояниями). Однако сечение процесса не должно зависеть от выбора параметра m², так что знание зависимости ds _парт от m² (из теории возмущений) позволяет найти зависимость ф-ций распределения от m². Наиб. простой вид эта зависимость имеет для т. н. моментов ф-ций распределения:

где п - номер момента. Она определяется уравнением ренормализационной группы (выражающей независимость сечения от m²) и величиной аномальной размерноcmug_n(a_s )момента функции распределения, к-рая, как отмечалось, может быть вычислена из теории возмущений. В общем случае g _п является матрицей 232, связывающей кварковые и глюонные ф-ции распределения, однако в тех случаях, когда по квантовым числам участиеглюонных партонов невозможно [т. н. несинглетный канал, зависящий от разности ф-ций распределения кварков и антикварков (см. Партоны), напр. для ф-ций распределения валентных кварков], g_n- числовая ф-ция от a_s.Обычно параметр m² в выражении (9) выбирается равным к.-л. из больших переменных Q².В этом случае КХД приводит к модифицированной партонной модели с зависящими от Q² ф-циями распределения, а в дифференц. сечение партонного подпроцесса зависимость от Q² входит не только через сомножитель 1/Q², определяемый размерностью этого сечения (т. н. кваркового счёта правила), но и через эфф. заряд a_s(Q²).Напр., для несинглетных (NS )ф-ций распределения валентных кварков в низшем порядке теории возмущений для g_n зависимость моментов от Q² имеет вид

где Q₀ - нек-рое фиксированное значение Q,а величина d_n отрицательна при n<1, положительна при п>1и равна нулю при n=1, т. е. с ростом Qвысокие моменты убывают, малые растут, а М₁^NS(Q²) остаётся неизменным: = числу валентных кварков, т. е. кварков, определяющих аддитивные квантовые числа адрона, такие, как заряд, барионное число и др., и справедливо в любом порядке теории возмущений - ф-ции распределения кварков и антикварковв адроне). В синглетном канале (S )подобным свойством обладает

где f_G- ф-ция распределения глюонов в адроне, что выражает равенство полного импульса адрона сумме импульсов всех его партонов. Это означает, что сами ф-ции распределения растут с ростом Q² при малых значениях x<<1 и падают в области x~1.
Экспериментальный статус КХД. Т. о., КХД предсказывает специфич. отклонения от наивной партонной модели и правил кваркового счёта, связанные с зависимостью как эфф. заряда a_s,так и ф-ций распределения и фрагментации партонов от большой импульсной переменной. Качеств. проявление этих эффектов наблюдается во мн. жёстких процессах с участием адронов.

Рис. 10. Зависимость моментов M_n^(NS) несинглетнойструктурной функции F₃ от квадрата переданного импульса Q².

Прежде всего это процессы глубоко неупругого рассеяния лептонов на нуклонах, где наблюдается заметное отклонение от скейлинга Бьёркена (см. Масштабная инвариантность),связанное с зависимостью ф-ций распределения от Q².Вкачестве одного из многочисл. примеров на рис. 10 представлены эксперим. данные по измерению моментов M_n^(NS) (Q² )в процессе глубоко неупругого рассеяния нейтрино. Величины [M_n^(NS) ] ^-1/d в КХД должны быть пропорц. ln(Q²/L²), как видно из выражения (11). Точка пересечения прямых с осью Q² определяет величину L² (для скейлинга Бьёркена эти прямые должны быть горизонтальными).Отклонения от правил кваркового счёта, предсказываемые КХД, наблюдаются также в процессах рождения в адронных соударениях пар m⁺m^- с большой инвариантной массой, M²_m+m- = (k_m++k_m-)²,где k_m+ , k_m- -4-импульсы мюонов, а также в инклюзивных процессах рождения пионов и фотонов с большим поперечным (по отношению к оси соударения нач. адронов) импульсом k_T (рис. 11; k₀ и k - энергия и импульс фотона). Эти отклонения вызваны не только зависимостью от k_T ф-ций распределения, но и зависимостью a_s (k_T )(пунктирная кривая на рис. 11 отвечала бы пост. величине a_s).

Большая работа была проведена по расчётам вКХД ширин адронных и лептонных распадов и расщепления уровней в кваркониях (напр., по вычислению разности масс Y- и h_b-, а также J/y- и h_c -мезонов). Эти системы играют для проверки КХД такую же роль, как атом водорода для квантовой механики в период её становления. Здесь также наблюдается неплохое количеств. согласие теоретич. расчётов с экспериментом (особенно с учётом глюонных радиац. поправок). Особо следует отметить распад тяжёлой Y -частицы в адроны. Согласно КХД, этот процесс идёт через аннигиляцию пары в три глюона, превращающихся затем в триадронные струи (рис. 12). Такие адронные струи с предсказанным угл. распределением действительно наблюдались экспериментально. Это рассматривается как эксперим. подтверждение существования векторных глюонов.

Рис. 12. Распад Y -частицы в три адронные струи.

Векторный характер глюона отчётливо проявляется также в угл. распределении адронных струй в процессе аннигиляции е ⁺ е ^- в три струи (рис. 13), а также в корреляциях между вторичными частицами, сопровождающими рождение адрона с большим поперечным импульсом в адрон-адронных соударениях. В последнем процессе наблюдается проявление ещё одного характерного элемента КХД - прямого глюон-глюонного взаимодействия. Оно сказывается в большом росте сечения процесса с ростом энергий (в системе центра масс) E _{ц. м.} при фиксированном k_T (рис. 14), а также в сравнительно большой величине отношения сечений рождения в протон-протонных столкновениях К ^-- и p^- -мезонов с большими поперечными импульсами(в отсутствие глюон-глюонного рассеяния К ^- -мезоны могли бы рождаться только за счёт т. н. морских кварков-антикварков s и кол-во к-рых незначительно).

Рис. 13. График ( а) углового распределения струй в событиях трёхструйной аннигиляции е ⁺ е ^- в адроны. Диаграмма ( б) изображает механизм этого процесса в КХД. q - угол между струями с наибольшим и следующим по величине суммарными импульсами (в системе отсчёта, в которой струи с наибольшим и наименьшим импульсами летят в противоположные стороны). Сплошная и пунктирная линии - теоретические предсказания для векторного и скалярного глюонов.

Убывание эфф. заряда a_s(Q)с ростом Q,полученное из процесса аннигиляции е ⁺ е ^- " 3 струи, показано нарис. 15. Т. о., осн. качеств. особенности КХД - векторный характер глюонов, глюон-глюонное взаимодействие и асимптотич. свобода - находят подтверждение в эксперименте, хотя убывание эфф. заряда a_s(Q)с ростом Qнельзя пока считать достаточно чётко установленным.

Рис. 14. Графики (a) зависимости сечений рождения p⁰ -мезонов от поперечного импульса в и рр-соударениях при двух значениях энергии в системе центра масс E _{ц. м.} Точки и кружки - экспериментальные данные. Три пунктирные кривые показывают теоретические вклады, связанные с подпроцессами кварк-антикваркового кварк-глюонного (qg )и глюон-глюонного (gg )рассеяний, соответствующие диаграммам б, в и г для E _{ц. м.} = 540 ГэВ, а сплошная кривая - их суммарное значение.

Следует также отметить, что извлекаемый из разных измерений параметр оказывается различным(рис. 16) (значок указывает на усечённую схему размерной регуляризации). Его среднемировое значение составляет 160(100) МэВ; наиб. точное значение 120(45) МэВ получено из ширины уровня Y -мезонов. Кроме того, эксперим. значения сечений многих процессов (напр., рождения мюонных пар или частиц с большим поперечным импульсом) получаются в 2-2,5 раза большими (т. н. К -фактор) теоретич. предсказаний, основанных на партонных подпроцессах в низшем порядке теории возмущений КХД. Эти расхождениясвяваны с достаточно большой величиной поправок высших порядков по a_s.

Рис. 15. Зависимость a_s от Q, полученная из трёхструнной аннигиляции е ⁺ е ^- "адроны. Разные точки - результаты разных экспериментальных групп и различной обработки.

Действительно, хотя измеряемые величины не зависят от выбора параметра (m², скорость убывания поправок по a_s с ростом порядка (а следовательно, ивеличина первых членов ряда) оказывается существенно различной при не очень малых значениях a_s. Но т. к. m² входит в a_s только в виде отношения m²/L², неудачный выбор m² в каждом конкретном процессе компенсируется изменением параметра L. В частности, выбором m² можно вообще обратить первую поправку в нуль, что, однако, не гарантирует малую величину след. поправок. Аналогичная ситуация наблюдается и в КЭД, но там она практически неосязаема из-за малой величины а и практически постоянного значения эфф. заряда.

Не менее важное значение в достигнутой области передач импульса имеют поправки 1/Q² (т. н. поправки высших твистов; см. Операторное разложение). Во мн. случаях именно они определяют характер поведения сечений процессов в доступной области передач импульса (напр., в упругих адронных процессах с большими передачами импульса). Наиб. широкое распространение здесь получил метод учёта таких поправок с помощью правил сумм КХД. В частности, была проведена большая работа по вычислению масс и констант взаимодействия адронов. Полученные значения в пределах 20% согласуются с экспериментом. Напр., вычисл. масса r-мезона составила 770 МэВ (эксперим. значение: m_r = 780 МэВ), а масса протона m _р~1 ГэВ (вместо 0,939 ГэВ). В качестве др. примера на рис. 17 показано сравнение с эксперим. данными полученного с помощью правил сумм формфактора пиона. Во 2-й пол. 70-х гг. в КХД начали развиваться т. н. непертурбативные методы вычисления, не связанные с разложением по константе взаимодействия. К ним относится, напр., метод инстантонов, основанный на разложениях ур-ний КХД в малой окрестности классич. частицеподобных решений и представляющий собой аналог квазиклассич. приближения в квантовой механике. Особенно широкое развитие получило применение в КХД числ. методов, основанных на замене непрерывного пространства-времени на дискретную решётку, функциональных интегралов (представляющих собойнаблюдаемые физ. величины)- на многократные интегралы и вычисления последних на ЭВМ с помощью Монте-Карло метода (см. Решётки метод в КТП). Это пока единств. регулярный метод, позволяющий выйти за рамки теории возмущений. Найденные таким способом параметры мн. элементарных частиц (массы, константы распадов, магн. моменты) в пределах достигнутой точности вычислений ~50% (лимитируемой мощностью совр. ЭВМ) согласуются с экспериментальными. Однако, по всей вероятности, числ. методам в КХД принадлежит большое будущее.

Рис. 17. Сравнение экспериментальных данных для формфактора пиона с теоретическими расчётами, полученными с помощью метода правил сумм КХД.

Т. о., КХД в настоящее время обеспечивает хорошее полуколичественное, а в нек-рых случаях и количеств. объяснение характерных особенностей широкого круга высокоэнергетич. процессов с участием адронов. Безусловно, принципиальное значение для её дальнейшей проверки и утверждения в качестве теории сильного взаимодействия имеют вычисление высших поправок и прецизионные эксперименты при максимально высоких энергиях. Однако наиб. острой остаётся проблема удержания цвета в КХД, связанная с отсутствием свободных кварков и глюонов и бесцветностью адронных состояний. Каким будет решение этой проблемы - "ИК-удержание", обусловленное ростом эфф. заряда при разделении двух цветных объектов и антиэкранировкой цвета за счёт рождения из вакуума кварк-антикварковых пар, превращающих дальнодействующие силы между кварками (из-за обмена безмассовыми глюонами) в короткодействующие ядерные силы между адронами, или перестройка вакуума из-за конденсации ИК глюонных полей - пока не ясно. Но каково бы оно ни было, КХД в настоящее время, как и теория электрослабого взаимодействия, представляет собой ступень в направлении создания единой теории поля, объединяющей взаимодействия элементарных частиц (см. Великое объединение, Суперсимметрия). Лит.: Вайнштейн А. И. и др., Чармоний и квантовая хромодинамика, "УФН", 1977, т. 123, с. 217; С л а в н о в А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Ефремов А. В., Радюшкин А. В., Теоретико-полевой подход к процессам с большой передачей импульса, "ТМФ", 1980, т. 44, с. 17, 157, 327; Вuras A., Asymptotic freedom in deep inelastic processes in the leading order and beyond, "Revs Mod. Phys.", 1980, v. 52, p. 199; Mueller A. H., Perturbative QCD at high energies, "Phys. Repts", 1981, v. 73, p. 237; Андреев И. В., Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях, М., 1981; Вайнштейн А. И. и др., Квантовая хромодинамика и масштабы адронных масс, "ЭЧАЯ", 1982, т. 13, с. 542; Аltаrеlli G., Partons in quantum chromodynamics,"Phys. Repts", 1982, v. 81, p. 129; Радюшкин А. В., Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой хромодинамике, "ЭЧАЯ", 1983, т. 14, с. 58; Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А., Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, М., 1984; Индурайн Ф., Квантовая хромодинамика. Введение в теорию кварков и глюонов, пер. с англ.. М., 1986. А. В. Ефремов.