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Gruppe,

 Benutzer: Benutzergruppe.

Gruppe,

 Software: eine Sammlung von Elementen, die als Ganzes behandelt werden können, wie etwa eine Sammlung von Datensätzen in einem Datenbankbericht oder eine Sammlung von Objekten, die sich - nach der Gruppierung - in einem Grafik- oder Layoutprogramm gemeinsam verschieben und umformen lassen. In Multiuser-Systemen (Betriebssystemen oder auch Datenbankprogrammen) versteht man unter einer Gruppe eine Reihe von Benutzerkonten (die oft auch »Mitglieder« genannt werden). Der Gruppe können Rechte gewährt werden, die dann auch auf die einzelnen Mitglieder übergehen.

Gruppe

 

[französisch groupe, von italienisch gruppo »Ansammlung«, »Schar«; »Block«],

 

 1) allgemein: kleinere Anzahl von Personen oder Dingen.

 

 2) Chemie: 1) aus zwei oder mehr Atomen zusammengesetzter Bestandteil eines Moleküls, z. B. die funktionelle Gruppe; 2) die jeweils in einer Spalte des Periodensystems untereinander stehenden Elemente mit ähnlichen Eigenschaften.

 

 3) Mathematik: eine algebraische Struktur (G, *) mit einer Verknüpfung *, die die folgenden Eigenschaften besitzt:

 

1) Die Verknüpfung ist assoziativ: Für alle a, b, c, aus G gilt (a * b) * c = a * (b * c).

 

2) Es gibt ein Element e aus G, sodass für alle a aus G gilt e * a = a * e = a (e heißt neutrales Element).

 

3) Für alle a aus G gibt es ein ã aus G, sodass gilt: a * ã = ã * a = e (ã heißt Inverses oder das inverse Element zu a, oft mit a^-1 bezeichnet).

 

Ist die Gruppe auch kommutativ, gilt also für alle a, b aus G a * b = b * a, so heißt sie kommutative oder abelsche Gruppe (nach N. H. Abel).

 

Beispiele: 1) Die Menge ℤ, die Menge der ganzen Zahlen, bildet mit der Addition als Verknüpfung [in Zeichen (ℤ, +)] eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die Zahl Null, das inverse Element zur Zahl z ist —z (z. B. —3 zu 3). (ℤ, ·) dagegen ist keine Gruppe, da zur Zahl z, z. B. zu der Zahl 4, kein inverses Element im Hinblick auf die Multiplikation existiert.

 

2) Die Menge ℚ, die Menge der rationalen Zahlen, bildet bezüglich der Addition [in Zeichen (ℚ, +)] eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die Zahl 0, das inverse Element zu q ist —q. In Bezug auf die Multiplikation bildet sie keine Gruppe, da zu der Zahl 0 kein inverses Element existiert. Betrachtet man dagegen die Menge ℚ ohne die Zahl Null (in Zeichen ℚ/{0}), so bildet (ℚ/{0}, ·) eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist die Zahl 1, das inverse Element zu q = a / b ist q̃ = b / a (z. B. ¾ zu ⁴/₃).

 

3) Es sei D_Q = {S_a, S_b, S_c, S_d, D_90º, D_180º, D_270º, id} die Menge der Deckabbildungen eines Quadrats. Dabei bedeuten S_a, S_b, S_c und S_d die Spiegelungen an den Achsen a, b, c beziehungsweise d, D_90º, D_180º und D_270º die Drehungen um den Punkt P, den Schnittpunkt der Spiegelachsen, um 90º, 180º beziehungsweise 270º und id die identische Abbildung. Die Menge D_Q bildet bezüglich der Verkettung [in Zeichen (D_Q, °)] eine (nichtabelsche) Gruppe. Das neutrale Element ist die identische Abbildung, das inverse Element zu den Achsenspiegelungen und D_180º die jeweilige Abbildung selbst, zu D_90º die Abbildung D_270º und umgekehrt. Die Menge U_Q = {id, D_90º, D_180º, D_270º} ist Teilmenge der Menge D_Q. Sie bildet bezüglich der Verkettung ebenfalls eine Gruppe. Man nennt deshalb (U_Q, °) eine Untergruppe von (D_Q, °).

 

Allgemein gilt die folgende Definition: Ist (G, *) eine Gruppe und U eine (nichtleere) Teilmenge von G mit der Eigenschaft, dass (U, *) eine Gruppe ist, so heißt (U, *) eine Untergruppe von (G, *).

 

Die Mächtigkeit der Menge G wird Ordnung der Gruppe genannt. In den Beispielen 1) und 2) handelt es sich um unendliche Gruppe, während im Beispiel 3) die Gruppe die Ordnung 8 hat. Die Ordnungen der Untergruppe sind stets Teiler der Gruppenordnung, aber nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung muss eine Untergruppe existieren. Von der Gruppenordnung ist die Ordnung eines Elements der Gruppe zu unterscheiden. Ein Gruppenelement g heißt von der Ordnung k, wenn g^k = e gilt (g^k bedeutet g k -mal mit sich selbst verknüpft), wobei k die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Dabei ist e das neutrale Element der Gruppe; dieses hat stets die Ordnung 1. Gibt es keine solche Zahl k, so nennt man die Ordnung des Gruppenelements g unendlich. In den Beispielen 1) und 2) hat nur jeweils das neutrale Element endlicher Ordnung, in Beispiel 3) besitzen S_a, S_b, S_c, S_d und D_180º die Ordnung 2, D_90º und D_270º die Ordnung 4 und id die Ordnung 1.

 

Eine endliche Gruppe (G, *) heißt zyklisch, wenn es ein Element g aus G gibt, dessen Ordnung gleich der Ordnung der Gruppe ist. Das Element g wird dann erzeugendes Element genannt. Es ist dann G = {g, g²,.. ., g^n-1, gⁿ = e }, wenn n die Gruppenordnung ist; z. B. ist die Untergruppe (U_Q, °) aus dem Beispiel 3) zyklisch mit dem erzeugenden Element D_90º. Eine unendliche Gruppe (G, *) heißt zyklisch, wenn ein g aus G (erzeugendes Element) existiert mit G = {gⁱ /i ∈ ℤ}. Hierbei setzt man g^l : g, g⁰ : e und (g^-k ) : (g^-l)^k. Beispielsweise ist (ℤ, +) eine zyklische Gruppe mit den erzeugenden Elementen +1 und —1.

 

Weitere wichtige Begriffe, die bei der Untersuchung der Struktur von Gruppen, der Gruppentheorie, auftreten, sind u. a. Faktorgruppe, Normalteiler, Nebenklasse.

 

Anwendungsgebiete

 

der Gruppentheorie sind u. a.: Auflösung algebraischer Gleichungen (Galois-Gruppe), F. Kleins Erlanger Programm in der Geometrie, Quantentheorie (Lie-Gruppe), Relativitätstheorie (Lorentz-Transformation), Kristallographie (Raumgruppen), Ornamente (z. B. Symmetrien in der Teppichweberei).

 

Geschichte:

 

Die Gruppentheorie begann sich etwa um die Mitte des 19. Jahrhunderts zu entwickeln. Der Gruppenbegriff entstand zunächst im Zusammenhang mit der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. Maßgeblich daran beteiligt waren u. a. N. H. Abel und É. Galois (Galois-Theorie). Der Ausbau zu einer selbstständigen, jedoch noch eng auf die Fragestellungen der Gleichungslehre zugeschnittenen Gruppentheorie erfolgte Ende des 19. Jahrhunderts durch J. A. Serret und C. Jordan. Parallel hierzu entwickelten F. Klein und S. Lie den Gruppenbegriff in der Geometrie (Gruppe als ein System geometrischer Transformationen), was schließlich durch F. Klein im Rahmen des von ihm entwickelten Erlanger Programms (1871) zur gruppentheoretischen Klassifikation der Geometrie führte. H. Weber stellte schließlich ab 1893 die Gruppe als eine der wichtigsten Grundstrukturen der Algebra heraus. Damit waren die Weichen gestellt für den Ausbau der abstrakten Algebra, die sich stark von der klassischen Algebra, der Lehre von den Gleichungen, unterscheidet.

 

 

Literatur:

 

W. Ledermann: Einf. in die G.-Theorie (1977);

 D. Wald: G.-Theorie für Chemiker (1985);

 P. S. Alexandroff: Einf. in die Gruppentheorie (a. d. Russ., ¹⁰1992);

 W. Lucha u. F. F. Schöberl: Gruppentheorie. Eine elementare Einf. für Physiker (1993).

 

 4) Militärwesen: 1) eine »Kampfgemeinschaft« bildende Teileinheit unter Führung eines Gruppenführers (meist Dienstgrad Unteroffizier oder Feldwebel), z. B. 8-12 abgesessene oder auf einem Fahrzeug (z. B. Schützenpanzer) aufgesessene Infanteristen; bei der Panzertruppe zwei Kampfpanzer; 2-4 Gruppen bilden einen Zug; 2) dem Bataillon vergleichbarer Truppenverband der Luftwaffe, Teil eines Geschwaders.

 

 5) Soziologie: Als soziologischer Grundbegriff bezeichnet Gruppe die verbreitetste Form sozialer Gebilde, die im Unterschied zur geschlosseneren, stärker durch Tradition sowie kulturelle und gesellschaftliche Normen gebundenen Gemeinschaft folgende Merkmale aufweist: 1) eine Anzahl von Personen, die eine überschaubare, von anderen sozialen Gebilden abhebbare soziale Einheit ergeben; 2) gemeinsame Sprache, die gruppenspezifische Züge annehmen kann (Gruppensprache oder sogar Gruppenjargon); 3) gemeinsame Wertorientierungen, Ziele, Interessen und Auffassungen; 4) gemeinsame gruppenspezifisch ausgeprägte soziale Normen (Gruppennormen), die das für das Gruppenleben erforderliche (zum Teil gleichförmige) Verhalten regulieren und die gegebenenfalls mit sozialer Kontrolle und Sanktionen verbunden sind; 5) ein System wechselseitig aufeinander bezogener, zum Teil unterschiedlich bewerteter und statusmäßig beziehungsweise rangmäßig eingestufter sozialer Positionen und Rollen, die mit Gruppenmitgliedern besetzt werden müssen; 6) dauerhafte soziale Beziehungen und Interaktionen zwischen den Gruppenmitgliedern sowie ein räumlich, zeitlich und kooperativ gemeinsames Handeln zur Erreichung der Gruppenziele und zur Bewältigung von Problemen; 7) hinsichtlich der gegenseitigen Orientierung, psychisch-geistigen Verbundenheit und gruppenbezogenen Verantwortungsbereitschaft das Vorhandensein eines Wir-Bewusstseins beziehungsweise -Gefühls (Gruppensolidarität, Gruppenmoral); 8) ein hinreichender Grad der gruppeninternen Festigkeit (Kohäsion, Gruppenintegration) infolge des Zusammenhalts der Gruppenmitglieder und dadurch erreichte Widerstandskraft gegenüber Führungsproblemen, Konflikten und Fremdeinflüssen.

 

Der soziologische Gruppenbegriff deckt sich vorrangig mit der Kleingruppe, die bis zu circa 25 Mitglieder umfasst. Großgruppen (z. B. politische Parteien) können eine hohe Anzahl von weit voneinander entfernt lebenden und nicht persönlich miteinander bekannten Mitglieder unter einem gemeinsamen Ziel vereinigen. Ihr dauerhafter Zusammenhalt und das zielorientierte Funktionieren setzen jedoch organisatorische Maßnahmen voraus (planmäßiger Aufbau, formale Regulierungen, Bürokratisierung), sodass sich Organisationen und zweckrational ausgerichtete Sekundärsysteme ergeben. Im Rahmen der formalen Struktur dieser Großgruppen bilden sich die von dem amerikanischen Industriesoziologen E. Mayo entdeckten informalen Gruppen heraus, die aus persönlichen Interaktionen hervorgehen und für die Zufriedenheit sowie Leistungsbereitschaft des Einzelnen wichtig sind. Kleingruppen und informale Gruppen sind oft mit Primärgruppen (z. B. Familiengruppe oder Freundschaftsgruppe) identisch, die nach C. H. Cooley im Unterschied zu den Sekundärgruppen (z. B. Arbeitsgruppe) durch enge persönliche, gefühlsmäßige Beziehungen gekennzeichnet sind. In Anlehnung an W. G. Sumner wird aus der Sicht des Einzelnen zwischen der Eigengruppe (Mitgliedschaftsgruppe, Ingroup) und Fremdgruppe (Nichtmitgliedschaftsgruppe, Outgroup) unterschieden. Fremdgruppen können aber als Bezugsgruppe (Referencegroup) ebenso wie Gleichaltrigengruppen (Peergroups) auch auf die Verhaltensorientierung von Nichtmitgliedern großen Einfluss ausüben.

 

Die Entfaltungs- und Überlebenschancen des Menschen hängen von der Zugehörigkeit zu sozialen Gruppen ab. Insbesondere in der modernen differenzierten Gesellschaft gehört der Einzelne mehreren Gruppen an. Die sozialpsychologischen Aspekte der Beziehungen und Interaktionen innerhalb und zwischen Gruppen werden im Rahmen der Gruppendynamik erforscht. Die gruppeninterne Beziehungsstruktur wird mithilfe der Soziometrie analysiert und dargestellt. Praktische Anwendung finden die Ergebnisse der Gruppenforschung besonders in der Gruppentherapie, Gruppenpädagogik und - z. B. in Betrieben und beim Militär - bei der Zusammenstellung von Teams zur Realisierung bestimmter (besonderer) Aufgaben (Human Relations; Betriebssoziologie; Militärsoziologie).

 

 

Literatur:

 

Die Groß-G., hg. v. L. Kreeger (a. d. Engl., 1977);

 G. C. Homans: Theorie der sozialen G. (a. d. Engl., ⁷1978);

 

Gruppensoziologie. Perspektiven u. Materialien, hg. v. F. Neidhart (1983);

 H.-D. Schneider: Kleingruppenforschung (²1985);

 

Einf. in die Gruppensoziologie. Gesch., Theorien, Analysen, hg. v. B. Schäfers (²1994);

 D. Claessens: G. u. Gruppenverbände. Systemat. Einf. in die Folgen von Vergesellschaftung (Neuausg. 1995).